Номер 1200, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1200, страница 233.

Условие.

1200. Постройте график уравнения:

a) $y + |y| = x;$

б) $y = x |y|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы построить график уравнения $y + |y| = x$, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Случай 1: $y \ge 0$.

В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + y = x$

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение задает прямую линию. Однако мы должны учесть ограничение $y \ge 0$. Так как $y = \frac{1}{2}x$, то условие $y \ge 0$ эквивалентно условию $\frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Таким образом, в этом случае решением является часть прямой $y = \frac{1}{2}x$, для которой $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и проходящий через точку $(2, 1)$, расположенный в первой координатной четверти.

2. Случай 2: $y < 0$.

В этом случае $|y| = -y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + (-y) = x$

$0 = x$

Уравнение $x=0$ задает всю ось ординат (ось $Oy$). Однако мы должны учесть ограничение $y < 0$.

Следовательно, в этом случае решением является та часть оси $Oy$, где $y < 0$. Это отрицательная полуось $Oy$, не включая начало координат.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух лучей: луча $y = \frac{1}{2}x$ при $x \ge 0$ и отрицательной полуоси $Oy$ (луч $x=0$ при $y < 0$).

---

б) Чтобы построить график уравнения $y = x|y|$, необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Случай 1: $y > 0$.

В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = xy$

Перенесем все члены в одну сторону: $y - xy = 0$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(1-x) = 0$.

Так как по условию этого случая $y > 0$, то $y \ne 0$. Значит, для выполнения равенства необходимо, чтобы $1-x = 0$, откуда $x=1$.

Таким образом, решением является прямая $x=1$ при условии $y > 0$. Это открытый луч, начинающийся в точке $(1,0)$ и направленный вертикально вверх.

2. Случай 2: $y < 0$.

В этом случае $|y| = -y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = x(-y)$

$y = -xy$

Перенесем все члены в одну сторону: $y + xy = 0$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(1+x) = 0$.

Так как по условию этого случая $y < 0$, то $y \ne 0$. Значит, для выполнения равенства необходимо, чтобы $1+x = 0$, откуда $x=-1$.

Таким образом, решением является прямая $x=-1$ при условии $y < 0$. Это открытый луч, начинающийся в точке $(-1,0)$ и направленный вертикально вниз.

3. Случай 3: $y = 0$.

Подставим $y=0$ в исходное уравнение:

$0 = x|0|$

$0 = x \cdot 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, вся ось абсцисс ($y=0$) является частью графика.

Объединив решения для всех трех случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение трех множеств: всей оси абсцисс ($y=0$), луча $x=1$ в верхней полуплоскости ($y>0$) и луча $x=-1$ в нижней полуплоскости ($y<0$).