Номер 1194, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1194, страница 233.

Условие.

1194. Делится ли число $\underbrace{11\dots1}_{81 \text{ раз}}$ на 81?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы число делилось на 81, оно должно делиться на 9 и еще раз на 9, так как $81 = 9 \times 9$. Проверим делимость числа $A$, состоящего из 81 единицы (репьюнит $R_{81}$), на 81 в два этапа.

1. Проверка делимости на 9
Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $A$. Число $A$ состоит из 81 единицы, поэтому сумма его цифр равна:$S = 1 \times 81 = 81$Поскольку 81 делится на 9 ($81 : 9 = 9$), то и само число $A$ делится на 9.

2. Проверка делимости на 81
Мы установили, что число $A$ делится на 9. Теперь нужно доказать, что частное от деления $A$ на 9 также делится на 9.
Представим число $A$ как девять следующих друг за другом блоков, каждый из которых является числом из девяти единиц. Обозначим число из девяти единиц как $B = 111,111,111$. Тогда $A$ можно записать в виде суммы:$A = B \cdot 10^{72} + B \cdot 10^{63} + \dots + B \cdot 10^9 + B$Вынесем $B$ за скобки, чтобы представить $A$ как произведение:$A = B \cdot (1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72})$
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель — это число $B = 111,111,111$. Сумма его цифр равна $1 \times 9 = 9$, следовательно, $B$ делится на 9.
Второй множитель — это сумма $C = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72}$. Это число, состоящее из девяти единиц, разделенных нулями. Сумма его цифр равна 9 (так как в сумме 9 слагаемых, каждое из которых является степенью десяти и имеет сумму цифр, равную 1), следовательно, $C$ также делится на 9.
Поскольку число $A$ является произведением двух чисел ($A = B \times C$), каждое из которых делится на 9, то само число $A$ делится на $9 \times 9 = 81$.

Ответ: Да, делится.