Номер 1189, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1189, страница 232.

Условие.

1189. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество орехов в каждом ящике:

• $x_1$ — количество орехов в первом ящике,
• $x_2$ — количество орехов во втором ящике,
• $x_3$ — количество орехов в третьем ящике.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 110% от количества в первом:
$x_2 = x_1 + 0.1 \cdot x_1 = 1.1x_1$

2. Во втором ящике на 30% орехов больше, чем в третьем. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 130% от количества в третьем:
$x_2 = x_3 + 0.3 \cdot x_3 = 1.3x_3$

3. В первом ящике на 80 орехов больше, чем в третьем:
$x_1 = x_3 + 80$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
$\begin{cases} x_2 = 1.1x_1 \\ x_2 = 1.3x_3 \\ x_1 = x_3 + 80 \end{cases}$

Поскольку левые части первых двух уравнений равны ($x_2$), мы можем приравнять их правые части:
$1.1x_1 = 1.3x_3$

Теперь в полученное уравнение подставим выражение для $x_1$ из третьего уравнения системы ($x_1 = x_3 + 80$):
$1.1(x_3 + 80) = 1.3x_3$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_3$:
$1.1x_3 + 1.1 \cdot 80 = 1.3x_3$
$1.1x_3 + 88 = 1.3x_3$
$1.3x_3 - 1.1x_3 = 88$
$0.2x_3 = 88$
$x_3 = \frac{88}{0.2} = \frac{880}{2} = 440$
Таким образом, в третьем ящике 440 орехов.

Зная $x_3$, найдем количество орехов в первом ящике, используя третье уравнение:
$x_1 = x_3 + 80 = 440 + 80 = 520$
В первом ящике 520 орехов.

Наконец, найдем количество орехов во втором ящике, используя первое уравнение:
$x_2 = 1.1x_1 = 1.1 \cdot 520 = 572$
Во втором ящике 572 ореха.

Ответ: в первом ящике — 520 орехов, во втором — 572 ореха, в третьем — 440 орехов.