Номер 1190, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1190, страница 233.

Условие.

1190. Докажите, что сумма $1^3 + 2^3 + \dots + 99^3$ делится на 100.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ делится на 100, можно привести два рассуждения.

Способ 1: Использование формулы суммы кубов.

Воспользуемся известной формулой для суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

В нашей задаче верхний предел суммирования $n = 99$. Подставим это значение в формулу для вычисления суммы $S$:

$S = \left(\frac{99(99+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2$

Выполним вычисление в скобках:

$S = (99 \cdot 50)^2$

Теперь возведем в квадрат:

$S = 99^2 \cdot 50^2 = 99^2 \cdot 2500$

Чтобы доказать, что сумма $S$ делится на 100, достаточно показать, что она является произведением некоторого целого числа на 100. Представим число 2500 как $25 \cdot 100$:

$S = 99^2 \cdot (25 \cdot 100) = (99^2 \cdot 25) \cdot 100$

Поскольку $99^2 \cdot 25$ является целым числом, то сумма $S$ кратна 100, а значит, делится на 100 без остатка. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Группировка слагаемых.

Этот метод не требует знания формулы суммы кубов. Сгруппируем слагаемые в сумме $S$ парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.

Вспомним формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Рассмотрим общую пару слагаемых вида $k^3$ и $(100-k)^3$. Их сумма равна:

$k^3 + (100-k)^3 = (k + (100-k))(k^2 - k(100-k) + (100-k)^2) = 100 \cdot (k^2 - 100k + k^2 + (100-k)^2)$

Очевидно, что эта сумма делится на 100 для любого целого $k$.

В нашей сумме $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ всего 99 слагаемых. Мы можем составить 49 таких пар:

$(1^3 + 99^3)$, $(2^3 + 98^3)$, ..., $(49^3 + 51^3)$

Сумма каждой из этих пар делится на 100, а значит, и сумма всех 49 пар также делится на 100.

Поскольку общее количество слагаемых нечетно (99), в центре ряда остается одно слагаемое, которое не вошло в пары. Это слагаемое $50^3$.

Таким образом, всю сумму $S$ можно представить как:

$S = \underbrace{(1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3)}_{\text{делится на 100}} + 50^3$

Проверим, делится ли на 100 оставшийся член $50^3$:

$50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 2500 \cdot 50 = (25 \cdot 100) \cdot 50$

Это число также делится на 100.

В итоге, исходная сумма $S$ является суммой двух слагаемых (суммы 49 пар и числа $50^3$), каждое из которых делится на 100. Согласно свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число.

Следовательно, $S$ делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Оба способа показывают, что сумма $1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ является целым числом, кратным 100, и, следовательно, делится на 100.