Номер 1186, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1186, страница 232.

Условие.

1186. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть наше шестизначное число имеет вид $\overline{abcdef}$. Согласно условию задачи, первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой, и третья — с шестой. Это означает, что $a = d$, $b = e$, и $c = f$.

Таким образом, число можно записать в виде $\overline{abcabc}$. Первая цифра $a$ не может быть нулем, так как число шестизначное ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$
$N = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$N = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c)$
$N = 100100a + 10010b + 1001c$

Вынесем общий множитель 1001 за скобки:
$N = 1001 \cdot (100a + 10b + c)$

Выражение в скобках $100a + 10b + c$ представляет собой трёхзначное число $\overline{abc}$, образованное первыми тремя цифрами исходного числа. Следовательно, наше шестизначное число можно записать как произведение:
$N = 1001 \cdot \overline{abc}$

Теперь, чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, достаточно показать, что множитель 1001 делится на 7, 11 и 13.
Разложим число 1001 на простые множители:
$1001 = 7 \cdot 143$
$143 = 11 \cdot 13$
Таким образом, $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Подставив это разложение в выражение для $N$, получим:
$N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot \overline{abc}$

Из полученного выражения видно, что число $N$ является произведением чисел 7, 11, 13 и трёхзначного числа $\overline{abc}$. Это означает, что $N$ делится нацело и на 7, и на 11, и на 13, что и требовалось доказать.

Ответ: Число вида $\overline{abcabc}$ можно представить как $1001 \cdot \overline{abc}$. Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, то число $\overline{abcabc}$ всегда кратно 7, 11 и 13.