Номер 1180, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1180, страница 231.

Условие.

1180. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на $3 \text{ см}$, то его площадь увеличится на $90 \text{ см}^2$. Если же длину прямоугольника увеличить на $5 \text{ см}$, а ширину уменьшить на $2 \text{ см}$, то его площадь увеличится на $20 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см, а его ширина — $y$ см. Тогда площадь прямоугольника составляет $S = xy$ см².

Из первого условия задачи, если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, его площадь увеличится на 90 см². Это можно записать в виде уравнения:

$(x + 3)(y + 3) = S + 90$

$(x + 3)(y + 3) = xy + 90$

Раскроем скобки в левой части:

$xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90$

Упростим уравнение, вычтя $xy$ из обеих частей и перенеся 9 в правую часть:

$3x + 3y = 81$

Разделив обе части на 3, получим первое уравнение системы:

$x + y = 27$

Из второго условия, если длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, его площадь увеличится на 20 см². Составим второе уравнение:

$(x + 5)(y - 2) = S + 20$

$(x + 5)(y - 2) = xy + 20$

Раскроем скобки:

$xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20$

Упростим уравнение, вычтя $xy$ из обеих частей и перенеся -10 в правую часть:

$-2x + 5y = 30$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 27 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = 27 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-2(27 - y) + 5y = 30$

$-54 + 2y + 5y = 30$

$7y = 30 + 54$

$7y = 84$

$y = \frac{84}{7} = 12$

Мы нашли ширину прямоугольника: $y = 12$ см. Теперь найдем длину, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 27 - 12 = 15$

Длина прямоугольника равна $x = 15$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.