Номер 1179, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1179, страница 231.

Условие.

1179. В первый день засеяли $\frac{1}{4}$ первого поля и $\frac{1}{3}$ второго, что составило 340 га. Во второй засеяли $\frac{1}{3}$ оставшейся части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Найдите площадь каждого поля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ га — площадь первого поля, а $y$ га — площадь второго поля.

Согласно условию, в первый день засеяли $\frac{1}{4}$ первого поля и $\frac{1}{3}$ второго, что в сумме составило 340 га. На основании этого составим первое уравнение: $$ \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 $$

После первого дня на первом поле осталась незасеянной часть, равная $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$ га. На втором поле осталась незасеянной часть, равная $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$ га.

Во второй день засеяли $\frac{1}{3}$ от оставшейся части первого поля, что составляет $\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}x$ га.

По условию, эта площадь ($\frac{1}{4}x$) на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Половина оставшейся части второго поля равна $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}y) = \frac{1}{3}y$ га. На основании этого составим второе уравнение: $$ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 \\ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $\frac{1}{4}x$ из второго уравнения в первое: $$ (\frac{1}{3}y - 60) + \frac{1}{3}y = 340 $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$: $$ \frac{2}{3}y - 60 = 340 $$ $$ \frac{2}{3}y = 340 + 60 $$ $$ \frac{2}{3}y = 400 $$ $$ y = 400 \cdot \frac{3}{2} $$ $$ y = 600 $$ Таким образом, площадь второго поля составляет 600 га.

Подставим найденное значение $y = 600$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$: $$ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}(600) - 60 $$ $$ \frac{1}{4}x = 200 - 60 $$ $$ \frac{1}{4}x = 140 $$ $$ x = 140 \cdot 4 $$ $$ x = 560 $$ Таким образом, площадь первого поля составляет 560 га.

Ответ: площадь первого поля — 560 га, площадь второго поля — 600 га.