Номер 1177, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1177, страница 230.

Условие.

1177. Автомобиль проделал путь за 8 ч. Сначала он шёл со скоростью 40 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Весь этот путь он мог бы пройти за то же время, если бы шёл со скоростью 45 км/ч. Сколько часов шёл автомобиль со скоростью 40 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $t_1$ — время в часах, в течение которого автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч.

Пусть $t_2$ — время в часах, в течение которого автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч.

Общее время пути составляет 8 часов, поэтому мы можем записать первое уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

Теперь найдем общее расстояние, которое проехал автомобиль. В условии сказано, что весь путь можно было бы проехать за те же 8 часов со скоростью 45 км/ч. Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости на время:

$S = 45 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Это же расстояние автомобиль проехал, двигаясь с разными скоростями. Расстояние, пройденное на первом участке, равно $40 \times t_1$. Расстояние, пройденное на втором участке, равно $60 \times t_2$. Сумма этих расстояний равна общему пути. Это дает нам второе уравнение:

$40t_1 + 60t_2 = 360$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 40t_1 + 60t_2 = 360 \end{cases} $

Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 20:

$2t_1 + 3t_2 = 18$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 2t_1 + 3t_2 = 18 \end{cases} $

Выразим $t_1$ из первого уравнения:

$t_1 = 8 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $t_2$:

$2(8 - t_2) + 3t_2 = 18$

$16 - 2t_2 + 3t_2 = 18$

$16 + t_2 = 18$

$t_2 = 18 - 16$

$t_2 = 2$

Таким образом, автомобиль ехал 2 часа со скоростью 60 км/ч.

Теперь найдем $t_1$, подставив значение $t_2$ в выражение $t_1 = 8 - t_2$:

$t_1 = 8 - 2 = 6$

Следовательно, автомобиль ехал 6 часов со скоростью 40 км/ч.

Проверка:

Общее время: $6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$.

Общее расстояние: $(6 \text{ ч} \times 40 \text{ км/ч}) + (2 \text{ ч} \times 60 \text{ км/ч}) = 240 \text{ км} + 120 \text{ км} = 360 \text{ км}$.

Результаты сходятся с условиями задачи.

Ответ: автомобиль шёл 6 часов со скоростью 40 км/ч и 2 часа со скоростью 60 км/ч.