Номер 1173, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1173, страница 230.

Условие.

1173. Имеет ли решения система уравнений:

a) $\begin{cases} 5x - 4y = 1, \\ 3x + 1 = 13, \\ 7x - 5y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 11x + 3y = 1, \\ 2x + y = 3, \\ 5x + 2y = 4? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы определить, имеет ли система решения, необходимо найти пару чисел $(x, y)$, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям одновременно. Данная система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 1 \\ 3x + 1 = 13 \\ 7x - 5y = 1 \end{cases}$

Начнем со второго уравнения, так как оно содержит только одну переменную $x$. $3x + 1 = 13$ $3x = 13 - 1$ $3x = 12$ $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$: $5x - 4y = 1$ $5(4) - 4y = 1$ $20 - 4y = 1$ $-4y = 1 - 20$ $-4y = -19$ $y = \frac{-19}{-4}$ $y = \frac{19}{4}$

Мы нашли пару чисел $(x, y) = (4, \frac{19}{4})$, которая является решением первых двух уравнений. Чтобы вся система имела решение, эта пара должна также удовлетворять и третьему уравнению. Проверим это: $7x - 5y = 1$ $7(4) - 5(\frac{19}{4}) = 1$ $28 - \frac{95}{4} = 1$ Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{28 \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 1$ $\frac{112}{4} - \frac{95}{4} = 1$ $\frac{112 - 95}{4} = 1$ $\frac{17}{4} = 1$ $4.25 = 1$

Полученное равенство является ложным. Следовательно, пара чисел, являющаяся решением первых двух уравнений, не является решением третьего. Это означает, что не существует решения, удовлетворяющего всем трем уравнениям системы.

Ответ: система уравнений не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему из трех уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 11x + 3y = 1 \\ 2x + y = 3 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases}$

Для проверки наличия решений решим систему, состоящую из любых двух уравнений, и затем подставим найденные значения в третье уравнение. Возьмем второе и третье уравнения. Из второго уравнения удобно выразить $y$: $2x + y = 3$ $y = 3 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в третье уравнение: $5x + 2y = 4$ $5x + 2(3 - 2x) = 4$ $5x + 6 - 4x = 4$ $x + 6 = 4$ $x = 4 - 6$ $x = -2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение для $y$: $y = 3 - 2x$ $y = 3 - 2(-2)$ $y = 3 + 4$ $y = 7$

Таким образом, решением системы из второго и третьего уравнений является пара чисел $(x, y) = (-2, 7)$. Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы: $11x + 3y = 1$ $11(-2) + 3(7) = 1$ $-22 + 21 = 1$ $-1 = 1$

Полученное равенство является ложным. Следовательно, решение, которое удовлетворяет второму и третьему уравнениям, не удовлетворяет первому. Это означает, что система несовместна.

Ответ: система уравнений не имеет решений.