Номер 1175, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1175, страница 230.

Условие.

1175. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:

а) $A(1; 2)$ и $B(-2; 3)$;

б) $M(-5; 0)$ и $K(2; -1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы задать формулой линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки, мы будем использовать общий вид уравнения линейной функции $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (наклон), а $b$ – это свободный член (точка пересечения с осью OY).

Поскольку график функции проходит через указанные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению. Подставляя координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $k$ и $b$. Решив эту систему, мы найдем искомые коэффициенты.

а) A(1; 2) и B(-2; 3)

Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

Для точки A(1; 2): $2 = k \cdot 1 + b \implies k + b = 2$

Для точки B(-2; 3): $3 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 3$

Получаем следующую систему уравнений:

$ \begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases} $

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого:

$(k + b) - (-2k + b) = 2 - 3$

$k + b + 2k - b = -1$

$3k = -1$

$k = -\frac{1}{3}$

Теперь, зная значение $k$, подставим его в первое уравнение системы ($k + b = 2$) для нахождения $b$:

$-\frac{1}{3} + b = 2$

$b = 2 + \frac{1}{3}$

$b = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Итак, мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{7}{3}$. Подставим их в общее уравнение линейной функции.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$

б) M(-5; 0) и K(2; -1)

Подставим координаты точек M и K в уравнение $y = kx + b$:

Для точки M(-5; 0): $0 = k \cdot (-5) + b \implies -5k + b = 0$

Для точки K(2; -1): $-1 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения легко выразить $b$ через $k$:

$b = 5k$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$2k + (5k) = -1$

$7k = -1$

$k = -\frac{1}{7}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение $b = 5k$:

$b = 5 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{5}{7}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{7}$ и $b = -\frac{5}{7}$. Подставим их в общее уравнение линейной функции.

Ответ: $y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}$