Номер 1169, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1169, страница 229.

Условие.

1169. Найдите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -2(2x + 1) + 1.5 = 3(y - 2) - 6x, \\ 11.5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x). \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\5(y - x) = 5 + 3x + 2y;\end{cases}$
Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$6x + 6y = 8 + 2x - 3y$
$6x - 2x + 6y + 3y = 8$
$4x + 9y = 8$
Второе уравнение:
$5y - 5x = 5 + 3x + 2y$
$-5x - 3x + 5y - 2y = 5$
$-8x + 3y = 5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}4x + 9y = 8 \\-8x + 3y = 5\end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$2 \cdot (4x + 9y) = 2 \cdot 8 \implies 8x + 18y = 16$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(8x + 18y) + (-8x + 3y) = 16 + 5$
$21y = 21$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое упрощенное уравнение $4x + 9y = 8$:
$4x + 9(1) = 8$
$4x = 8 - 9$
$4x = -1$
$x = -1/4$
Ответ: $(-1/4; 1)$.

б)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}-2(2x + 1) + 1,5 = 3(y - 2) - 6x, \\11,5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x);\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$-4x - 2 + 1,5 = 3y - 6 - 6x$
$-4x - 0,5 = 3y - 6 - 6x$
$-4x + 6x - 3y = -6 + 0,5$
$2x - 3y = -5,5$
Второе уравнение:
$11,5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x$
$-0,5 + 4x = 2y - 5 + x$
$4x - x - 2y = -5 + 0,5$
$3x - 2y = -4,5$
Получили систему:
$\begin{cases}2x - 3y = -5,5 \\3x - 2y = -4,5\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, а второе на 3:
$-2(2x - 3y) = -2(-5,5) \implies -4x + 6y = 11$
$3(3x - 2y) = 3(-4,5) \implies 9x - 6y = -13,5$
Сложим полученные уравнения:
$(-4x + 6y) + (9x - 6y) = 11 - 13,5$
$5x = -2,5$
$x = -0,5$
Подставим $x = -0,5$ в уравнение $2x - 3y = -5,5$:
$2(-0,5) - 3y = -5,5$
$-1 - 3y = -5,5$
$-3y = -4,5$
$y = 1,5$
Ответ: $(-0,5; 1,5)$.

в)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48;\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48$
$5x + 2y + 3 = 48$
$5x + 2y = 45$
Второе уравнение:
$9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48$
$25x - 20y - 27 = 48$
$25x - 20y = 75$
Разделим второе уравнение на 5 для упрощения:
$5x - 4y = 15$
Получили систему:
$\begin{cases}5x + 2y = 45 \\5x - 4y = 15\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15$
$6y = 30$
$y = 5$
Подставим $y = 5$ в уравнение $5x + 2y = 45$:
$5x + 2(5) = 45$
$5x + 10 = 45$
$5x = 35$
$x = 7$
Ответ: $(7; 5)$.

г)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\10(x - y) = 3y + 4(1 - x).\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68$
$3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84$
$-33x - 5y = -152$
$33x + 5y = 152$
Второе уравнение:
$10x - 10y = 3y + 4 - 4x$
$10x + 4x - 10y - 3y = 4$
$14x - 13y = 4$
Получили систему:
$\begin{cases}33x + 5y = 152 \\14x - 13y = 4\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:
$13(33x + 5y) = 13 \cdot 152 \implies 429x + 65y = 1976$
$5(14x - 13y) = 5 \cdot 4 \implies 70x - 65y = 20$
Сложим полученные уравнения:
$(429x + 65y) + (70x - 65y) = 1976 + 20$
$499x = 1996$
$x = 1996 / 499$
$x = 4$
Подставим $x = 4$ в уравнение $14x - 13y = 4$:
$14(4) - 13y = 4$
$56 - 13y = 4$
$-13y = 4 - 56$
$-13y = -52$
$y = 4$
Ответ: $(4; 4)$.