Номер 1164, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1164, страница 228.

Условие.

1164. (Для работы в парах.) Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением $10x + 5y = 1$ составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.

1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.

2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Исходное уравнение: $10x + 5y = 1$.

Для анализа системы двух линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ используются соотношения между их коэффициентами:

• Одно решение: прямые пересекаются. Условие: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Бесконечно много решений: прямые совпадают. Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

В нашем случае $a_1 = 10$, $b_1 = 5$, $c_1 = 1$.

а) имеющую одно решение

Чтобы система имела одно решение, нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{10}{a_2} \neq \frac{5}{b_2}$. Это равносильно условию $10b_2 \neq 5a_2$ или $2b_2 \neq a_2$.

Можно выбрать множество вариантов. Возьмем простое уравнение, например, $x + y = 3$. В этом случае $a_2=1, b_2=1, c_2=3$.

Проверим условие: $\frac{10}{1} \neq \frac{5}{1}$, то есть $10 \neq 5$. Условие выполняется.

Теперь решим составленную систему уравнений:

$\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$10x + 5(3 - x) = 1$

$10x + 15 - 5x = 1$

$5x = 1 - 15$

$5x = -14$

$x = -\frac{14}{5} = -2.8$

Теперь найдем $y$:

$y = 3 - x = 3 - (-\frac{14}{5}) = \frac{15}{5} + \frac{14}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

Система имеет единственное решение $(-2.8; 5.8)$.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $x + y = 3$. Решение этой системы: $x = -2.8$, $y = 5.8$.

б) имеющую бесконечно много решений

Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому, то есть должно выполняться условие: $\frac{10}{a_2} = \frac{5}{b_2} = \frac{1}{c_2}$.

Самый простой способ получить такое уравнение — умножить исходное уравнение $10x + 5y = 1$ на любое число, не равное нулю. Например, умножим на 2:

$2 \cdot (10x + 5y = 1) \implies 20x + 10y = 2$

Здесь $a_2 = 20, b_2 = 10, c_2 = 2$. Проверим соотношение:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Так как $\frac{10}{20} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, условие выполняется.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $20x + 10y = 2$.

в) не имеющую решений

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет. Условие: $\frac{10}{a_2} = \frac{5}{b_2} \neq \frac{1}{c_2}$.

Мы можем взять левую часть уравнения такую же, как в исходном, а изменить только свободный член. Например, возьмем уравнение $10x + 5y = 2$.

В этом случае $a_2 = 10, b_2 = 5, c_2 = 2$. Проверим соотношение:

$\frac{10}{10} = 1$

$\frac{5}{5} = 1$

$\frac{1}{2}$

Так как $\frac{10}{10} = \frac{5}{5} \neq \frac{1}{2}$ (то есть $1=1\neq\frac{1}{2}$), условие выполняется.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $10x + 5y = 2$.