Номер 1158, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1158, страница 228.

Условие.

1158. Докажите, что прямые $x + y = 5$, $2x - y = 16$ и $x + 2y = 3$ пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что данные три прямые пересекаются в одной точке, необходимо найти точку пересечения любых двух из них и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой. Если принадлежит, то все три прямые пересекаются в этой точке, и ее координаты будут являться ответом на второй вопрос.

Возьмем первые два уравнения прямых и решим их как систему:

$\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 16\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 16$

$3x = 21$

$x = \frac{21}{3} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в первое уравнение $x + y = 5$, чтобы найти $y$:

$7 + y = 5$

$y = 5 - 7 = -2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых — $(7, -2)$.

Теперь необходимо доказать, что эта точка принадлежит и третьей прямой, уравнение которой $x + 2y = 3$. Подставим координаты точки $(7, -2)$ в это уравнение:

$7 + 2 \cdot (-2) = 3$

$7 - 4 = 3$

$3 = 3$

Полученное верное равенство доказывает, что точка $(7, -2)$ лежит и на третьей прямой. Следовательно, все три прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(7, -2)$.

Ответ: Прямые пересекаются в одной точке с координатами $(7, -2)$.