Номер 1163, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1163, страница 228.

Условие.

1163. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

а) $\begin{cases} 2x + 5y = 17, \\ 4x - 10y = 45; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1, \\ 6x - 2y = 35; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,2x - 5y = 11, \\ -x + 25y = -55; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10, \\ 9x - 2y = 1? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x - 10y = 45 \end{cases} $

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, сравним отношения коэффициентов при переменных.

Коэффициенты первого уравнения: $a_1 = 2$, $b_1 = 5$.

Коэффициенты второго уравнения: $a_2 = 4$, $b_2 = -10$.

Найдем отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} $), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив обе его части на 15, чтобы избавиться от дробей:

$ 15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1 $

$ 3x - y = 15 $

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ ($ \frac{1}{2} \neq \frac{3}{7} $), графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,2x - 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{0,2}{-1} = -0,2 = -\frac{1}{5} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-55} = -\frac{1}{5} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений (прямые) совпадают. Это означает, что одно уравнение является следствием другого (второе уравнение можно получить, умножив первое на -5). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{1/3}{-2} = -\frac{1}{6} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{3} \neq -\frac{1}{6} $), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.