Номер 1166, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1166, страница 229.

Условие.

1166. При каком значении c система уравнений $\begin{cases} 3x - y = 10, \\ 9x - 3y = c \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данная система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 10, \\ 9x - 3y = c \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда уравнения в системе эквивалентны. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Рассмотрим первый способ решения. Сравним коэффициенты при переменных в обоих уравнениях. Коэффициент при $x$ во втором уравнении ($9$) в 3 раза больше, чем в первом ($3$). Коэффициент при $y$ во втором уравнении ($-3$) также в 3 раза больше, чем в первом ($-1$).

Это значит, что левая часть второго уравнения получается умножением левой части первого уравнения на 3:

$3 \cdot (3x - y) = 9x - 3y$

Для того чтобы система имела бесконечное множество решений, второе уравнение должно быть полностью получено из первого умножением на 3. Следовательно, и правая часть второго уравнения должна быть в 3 раза больше правой части первого:

$c = 10 \cdot 3$

$c = 30$

Таким образом, при $c = 30$ второе уравнение $9x - 3y = 30$ становится эквивалентным первому $3x - y = 10$ (если его разделить на 3), и система будет иметь бесконечное множество решений.

Рассмотрим второй способ решения, используя условие пропорциональности коэффициентов. Для того чтобы система вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = d_1 \\ a_2x + b_2y = d_2 \end{cases}$ имела бесконечно много решений, должно выполняться соотношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$

В нашем случае: $a_1=3, b_1=-1, d_1=10$ и $a_2=9, b_2=-3, d_2=c$.

Подставим эти значения в условие:

$\frac{3}{9} = \frac{-1}{-3} = \frac{10}{c}$

Проверим равенство первых двух дробей:

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

Равенство выполняется. Теперь, чтобы найти $c$, приравняем это значение к третьей дроби:

$\frac{1}{3} = \frac{10}{c}$

Из этой пропорции находим $c$:

$1 \cdot c = 3 \cdot 10$

$c = 30$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $c = 30$