Страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1166. При каком значении c система уравнений $\begin{cases} 3x - y = 10, \\ 9x - 3y = c \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Данная система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 10, \\ 9x - 3y = c \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда уравнения в системе эквивалентны. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Рассмотрим первый способ решения. Сравним коэффициенты при переменных в обоих уравнениях. Коэффициент при $x$ во втором уравнении ($9$) в 3 раза больше, чем в первом ($3$). Коэффициент при $y$ во втором уравнении ($-3$) также в 3 раза больше, чем в первом ($-1$).

Это значит, что левая часть второго уравнения получается умножением левой части первого уравнения на 3:

$3 \cdot (3x - y) = 9x - 3y$

Для того чтобы система имела бесконечное множество решений, второе уравнение должно быть полностью получено из первого умножением на 3. Следовательно, и правая часть второго уравнения должна быть в 3 раза больше правой части первого:

$c = 10 \cdot 3$

$c = 30$

Таким образом, при $c = 30$ второе уравнение $9x - 3y = 30$ становится эквивалентным первому $3x - y = 10$ (если его разделить на 3), и система будет иметь бесконечное множество решений.

Рассмотрим второй способ решения, используя условие пропорциональности коэффициентов. Для того чтобы система вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = d_1 \\ a_2x + b_2y = d_2 \end{cases}$ имела бесконечно много решений, должно выполняться соотношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{d_1}{d_2}$

В нашем случае: $a_1=3, b_1=-1, d_1=10$ и $a_2=9, b_2=-3, d_2=c$.

Подставим эти значения в условие:

$\frac{3}{9} = \frac{-1}{-3} = \frac{10}{c}$

Проверим равенство первых двух дробей:

$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

Равенство выполняется. Теперь, чтобы найти $c$, приравняем это значение к третьей дроби:

$\frac{1}{3} = \frac{10}{c}$

Из этой пропорции находим $c$:

$1 \cdot c = 3 \cdot 10$

$c = 30$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $c = 30$

1165. Укажите какое-либо значение k, при котором система

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ y - kx = 3 \end{cases}$

имеет единственное решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики этих уравнений, являющиеся прямыми линиями, пересекаются в одной точке. Это происходит в том случае, если их угловые коэффициенты не равны.

Для нахождения условия единственности решения приведем оба уравнения системы к виду $y = mx + b$, где $m$ — угловой коэффициент прямой.

Рассмотрим первое уравнение:
$2x + y = 7$
Выразим из него $y$:
$y = -2x + 7$
Угловой коэффициент этой прямой $m_1 = -2$.

Теперь рассмотрим второе уравнение:
$y - kx = 3$
Выразим из него $y$:
$y = kx + 3$
Угловой коэффициент этой прямой $m_2 = k$.

Чтобы система имела единственное решение, угловые коэффициенты прямых должны быть не равны:
$m_1 \neq m_2$
Подставив найденные значения, получаем условие для $k$:
$-2 \neq k$

Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k = -2$.

В задании требуется указать какое-либо одно такое значение. Мы можем выбрать любое число, которое не равно -2. Например, выберем $k = 1$.

Ответ: 1 (можно указать любое другое число, не равное -2, например: 0, 5, -3).

1167. При каких значениях c система уравнений

$\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2, \\ 5x + 2y = c \end{cases}$

не имеет решений?

Для того чтобы найти значения параметра $c$, при которых данная система уравнений не имеет решений, проанализируем её структуру. Исходная система:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2 \\ 5x + 2y = c \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы так, чтобы его коэффициенты при $x$ и $y$ были сопоставимы с коэффициентами второго уравнения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5), чтобы избавиться от дробей.

$10 \cdot (\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y) = 10 \cdot 2$

$\frac{10 \cdot 1}{2}x + \frac{10 \cdot 1}{5}y = 20$

$5x + 2y = 20$

После преобразования система уравнений принимает следующий вид:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 5x + 2y = c \end{cases} $

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда её уравнения противоречат друг другу. В полученной системе левые части обоих уравнений полностью совпадают и равны выражению $5x + 2y$. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают прямые с одинаковым угловым коэффициентом, то есть они параллельны.

• Если их правые части также равны, то есть $c = 20$, то уравнения становятся идентичными. Это означает, что прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (любая точка на прямой $5x + 2y = 20$).
• Если же их правые части не равны, то есть $c \ne 20$, то система становится противоречивой. Выражение $5x + 2y$ не может одновременно равняться двум разным числам (20 и $c$). В этом случае прямые параллельны, но не совпадают, следовательно, у них нет общих точек, и система не имеет решений.

Таким образом, условием отсутствия решений для данной системы является $c \ne 20$.

Ответ: система не имеет решений при $c \ne 20$.

1168. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 25x - 18y = 75, \\ 5x - 4y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 35x = 3y + 5, \\ 49x = 4y + 9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 8y - 5z = 23, \\ 3y - 2z = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 13x - 15y = -48, \\ 2x + y = 29; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 7x + 4y = 74, \\ 3x + 2y = 32; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 11u + 15v = 1,9, \\ -3u + 5v = 1,3. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} 25x - 18y = 75, \\ 5x - 4y = 5; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на $-5$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.
$ \begin{cases} 25x - 18y = 75, \\ -25x + 20y = -25; \end{cases} $
Теперь сложим уравнения почленно:
$(25x - 18y) + (-25x + 20y) = 75 + (-25)$
$2y = 50$
$y = 25$
Подставим найденное значение $y$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:
$5x - 4(25) = 5$
$5x - 100 = 5$
$5x = 105$
$x = 21$
Ответ: $x=21, y=25$.

б) $ \begin{cases} 35x = 3y + 5, \\ 49x = 4y + 9; \end{cases} $
Перепишем систему в стандартном виде:
$ \begin{cases} 35x - 3y = 5, \\ 49x - 4y = 9; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.
$ \begin{cases} 140x - 12y = 20, \\ -147x + 12y = -27; \end{cases} $
Сложим уравнения почленно:
$(140x - 12y) + (-147x + 12y) = 20 + (-27)$
$-7x = -7$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение $35x = 3y + 5$:
$35(1) = 3y + 5$
$35 = 3y + 5$
$30 = 3y$
$y = 10$
Ответ: $x=1, y=10$.

в) $ \begin{cases} 8y - 5z = 23, \\ 3y - 2z = 6; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5.
$ \begin{cases} 16y - 10z = 46, \\ -15y + 10z = -30; \end{cases} $
Сложим уравнения почленно:
$(16y - 10z) + (-15y + 10z) = 46 + (-30)$
$y = 16$
Подставим $y=16$ во второе исходное уравнение $3y - 2z = 6$:
$3(16) - 2z = 6$
$48 - 2z = 6$
$-2z = 6 - 48$
$-2z = -42$
$z = 21$
Ответ: $y=16, z=21$.

г) $ \begin{cases} 13x - 15y = -48, \\ 2x + y = 29; \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 29 - 2x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$13x - 15(29 - 2x) = -48$
$13x - 435 + 30x = -48$
$43x = -48 + 435$
$43x = 387$
$x = 9$
Теперь найдем $y$:
$y = 29 - 2(9) = 29 - 18 = 11$
Ответ: $x=9, y=11$.

д) $ \begin{cases} 7x + 4y = 74, \\ 3x + 2y = 32; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2.
$ \begin{cases} 7x + 4y = 74, \\ -6x - 4y = -64; \end{cases} $
Сложим уравнения почленно:
$(7x + 4y) + (-6x - 4y) = 74 + (-64)$
$x = 10$
Подставим $x=10$ во второе исходное уравнение $3x + 2y = 32$:
$3(10) + 2y = 32$
$30 + 2y = 32$
$2y = 2$
$y = 1$
Ответ: $x=10, y=1$.

е) $ \begin{cases} 11u + 15v = 1,9, \\ -3u + 5v = 1,3; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -3.
$ \begin{cases} 11u + 15v = 1,9, \\ 9u - 15v = -3,9; \end{cases} $
Сложим уравнения почленно:
$(11u + 15v) + (9u - 15v) = 1,9 + (-3,9)$
$20u = -2$
$u = -2 / 20 = -0,1$
Подставим $u=-0,1$ во второе исходное уравнение $-3u + 5v = 1,3$:
$-3(-0,1) + 5v = 1,3$
$0,3 + 5v = 1,3$
$5v = 1,3 - 0,3$
$5v = 1$
$v = 1 / 5 = 0,2$
Ответ: $u=-0,1, v=0,2$.

1169. Найдите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -2(2x + 1) + 1.5 = 3(y - 2) - 6x, \\ 11.5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x). \end{cases}$

а)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}6(x + y) = 8 + 2x - 3y, \\5(y - x) = 5 + 3x + 2y;\end{cases}$
Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$6x + 6y = 8 + 2x - 3y$
$6x - 2x + 6y + 3y = 8$
$4x + 9y = 8$
Второе уравнение:
$5y - 5x = 5 + 3x + 2y$
$-5x - 3x + 5y - 2y = 5$
$-8x + 3y = 5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}4x + 9y = 8 \\-8x + 3y = 5\end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$2 \cdot (4x + 9y) = 2 \cdot 8 \implies 8x + 18y = 16$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(8x + 18y) + (-8x + 3y) = 16 + 5$
$21y = 21$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое упрощенное уравнение $4x + 9y = 8$:
$4x + 9(1) = 8$
$4x = 8 - 9$
$4x = -1$
$x = -1/4$
Ответ: $(-1/4; 1)$.

б)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}-2(2x + 1) + 1,5 = 3(y - 2) - 6x, \\11,5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x);\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$-4x - 2 + 1,5 = 3y - 6 - 6x$
$-4x - 0,5 = 3y - 6 - 6x$
$-4x + 6x - 3y = -6 + 0,5$
$2x - 3y = -5,5$
Второе уравнение:
$11,5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x$
$-0,5 + 4x = 2y - 5 + x$
$4x - x - 2y = -5 + 0,5$
$3x - 2y = -4,5$
Получили систему:
$\begin{cases}2x - 3y = -5,5 \\3x - 2y = -4,5\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, а второе на 3:
$-2(2x - 3y) = -2(-5,5) \implies -4x + 6y = 11$
$3(3x - 2y) = 3(-4,5) \implies 9x - 6y = -13,5$
Сложим полученные уравнения:
$(-4x + 6y) + (9x - 6y) = 11 - 13,5$
$5x = -2,5$
$x = -0,5$
Подставим $x = -0,5$ в уравнение $2x - 3y = -5,5$:
$2(-0,5) - 3y = -5,5$
$-1 - 3y = -5,5$
$-3y = -4,5$
$y = 1,5$
Ответ: $(-0,5; 1,5)$.

в)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48, \\3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48;\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48$
$5x + 2y + 3 = 48$
$5x + 2y = 45$
Второе уравнение:
$9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48$
$25x - 20y - 27 = 48$
$25x - 20y = 75$
Разделим второе уравнение на 5 для упрощения:
$5x - 4y = 15$
Получили систему:
$\begin{cases}5x + 2y = 45 \\5x - 4y = 15\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(5x + 2y) - (5x - 4y) = 45 - 15$
$6y = 30$
$y = 5$
Подставим $y = 5$ в уравнение $5x + 2y = 45$:
$5x + 2(5) = 45$
$5x + 10 = 45$
$5x = 35$
$x = 7$
Ответ: $(7; 5)$.

г)Решим систему уравнений:
$\begin{cases}84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17), \\10(x - y) = 3y + 4(1 - x).\end{cases}$
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68$
$3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84$
$-33x - 5y = -152$
$33x + 5y = 152$
Второе уравнение:
$10x - 10y = 3y + 4 - 4x$
$10x + 4x - 10y - 3y = 4$
$14x - 13y = 4$
Получили систему:
$\begin{cases}33x + 5y = 152 \\14x - 13y = 4\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 13, а второе на 5:
$13(33x + 5y) = 13 \cdot 152 \implies 429x + 65y = 1976$
$5(14x - 13y) = 5 \cdot 4 \implies 70x - 65y = 20$
Сложим полученные уравнения:
$(429x + 65y) + (70x - 65y) = 1976 + 20$
$499x = 1996$
$x = 1996 / 499$
$x = 4$
Подставим $x = 4$ в уравнение $14x - 13y = 4$:
$14(4) - 13y = 4$
$56 - 13y = 4$
$-13y = 4 - 56$
$-13y = -52$
$y = 4$
Ответ: $(4; 4)$.