Страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1114. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

По условию, всего на двух полках 55 книг, что можно записать в виде первого уравнения:
$x + y = 55$

Далее, со второй полки переставили половину книг ($y/2$) на первую. После этого количество книг на второй полке стало $y - y/2 = y/2$, а на первой полке стало $x + y/2$.

Согласно второму условию, после перестановки количество книг на первой полке стало в 4 раза больше, чем на второй. Это дает нам второе уравнение:
$x + \frac{y}{2} = 4 \cdot \left(\frac{y}{2}\right)$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + y = 55 \\ x + \frac{y}{2} = 2y \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 2y - \frac{y}{2}$
$x = \frac{4y - y}{2}$
$x = \frac{3y}{2}$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\frac{3y}{2} + y = 55$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $y$:
$\frac{3y}{2} + \frac{2y}{2} = 55$
$\frac{5y}{2} = 55$
$5y = 55 \cdot 2$
$5y = 110$
$y = \frac{110}{5}$
$y = 22$

Итак, на второй полке изначально было 22 книги. Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x + 22 = 55$
$x = 55 - 22$
$x = 33$

Следовательно, на первой полке изначально было 33 книги.

Проведем проверку. Изначально: 33 книги на первой полке и 22 на второй, в сумме $33 + 22 = 55$ книг. Переставляем половину со второй полки: $22 / 2 = 11$ книг. На второй полке остается $22 - 11 = 11$ книг. На первой полке становится $33 + 11 = 44$ книги. Проверяем соотношение: $44$ в 4 раза больше, чем $11$ ($44 = 4 \cdot 11$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: на первой полке было 33 книги, на второй — 22 книги.

1116. Масса $ 4,5 \text{ см}^3 $ железа и $ 8 \text{ см}^3 $ меди равна $ 101,5 \text{ г} $. Масса $ 3 \text{ см}^3 $ железа больше массы $ 2 \text{ см}^3 $ меди на $ 6,8 \text{ г} $. Найдите плотность железа и плотность меди.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ г/см³ — плотность железа, а $y$ г/см³ — плотность меди.

Масса вещества находится по формуле $m = \rho \cdot V$, где $m$ — масса, $\rho$ — плотность, а $V$ — объем.

Основываясь на условиях задачи, составим систему из двух уравнений.

Первое условие: «Масса 4,5 см³ железа и 8 см³ меди равна 101,5 г». Это можно записать в виде уравнения:

$4,5x + 8y = 101,5$

Второе условие: «Масса 3 см³ железа больше массы 2 см³ меди на 6,8 г». Это можно записать в виде второго уравнения:

$3x - 2y = 6,8$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 4,5x + 8y = 101,5 \\ 3x - 2y = 6,8 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$4 \cdot (3x - 2y) = 4 \cdot 6,8$

$12x - 8y = 27,2$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4,5x + 8y = 101,5 \\ 12x - 8y = 27,2 \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(4,5x + 12x) + (8y - 8y) = 101,5 + 27,2$

$16,5x = 128,7$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{128,7}{16,5} = 7,8$

Таким образом, плотность железа составляет 7,8 г/см³.

Подставим найденное значение $x = 7,8$ во второе уравнение исходной системы ($3x - 2y = 6,8$) для нахождения $y$:

$3 \cdot (7,8) - 2y = 6,8$

$23,4 - 2y = 6,8$

$2y = 23,4 - 6,8$

$2y = 16,6$

$y = \frac{16,6}{2} = 8,3$

Следовательно, плотность меди составляет 8,3 г/см³.

Ответ: плотность железа равна 7,8 г/см³, плотность меди — 8,3 г/см³.

1118. Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая — на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество деталей, которое по плану должна была изготовить первая бригада, а $y$ — количество деталей, которое по плану должна была изготовить вторая бригада.

Согласно условию, по плану обе бригады должны были изготовить 680 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 680$

Первая бригада перевыполнила план на 20%, то есть изготовила сверх плана $0.2x$ деталей. Вторая бригада перевыполнила план на 15%, то есть изготовила сверх плана $0.15y$ деталей. Суммарно они изготовили сверх плана 118 деталей. Это дает нам второе уравнение:

$0.2x + 0.15y = 118$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 680 \\ 0.2x + 0.15y = 118 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 680 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$0.2(680 - y) + 0.15y = 118$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$0.2 \cdot 680 - 0.2y + 0.15y = 118$

$136 - 0.05y = 118$

Перенесем известные члены в одну сторону, а неизвестные в другую:

$0.05y = 136 - 118$

$0.05y = 18$

Найдем $y$:

$y = \frac{18}{0.05} = \frac{1800}{5} = 360$

Следовательно, вторая бригада по плану должна была изготовить 360 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей по плану должна была изготовить первая бригада, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 680 - y = 680 - 360 = 320$

Следовательно, первая бригада по плану должна была изготовить 320 деталей.

Проверка:

Плановое количество деталей: $320 + 360 = 680$ деталей.

Количество деталей, изготовленных сверх плана: $0.2 \cdot 320 + 0.15 \cdot 360 = 64 + 54 = 118$ деталей.

Все условия задачи выполнены, решение верное.

Ответ: по плану первая бригада должна была изготовить 320 деталей, а вторая бригада — 360 деталей.

1120. Имеющиеся 45 000 р. клиент банка разделил на две части. Одну из них он положил на вклад «Депозитный», доход по которому составлял 9% в год, но нельзя было снимать деньги в течение года. Другую часть он положил на вклад «До востребования», доход по которому составлял 1% в год, однако в любое время можно было взять деньги полностью или частично. В результате общий доход, полученный клиентом через год, составил 3410 р. Сколько денег положил клиент на вклад «Депозитный» и сколько на вклад «До востребования»?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это сумма, которую клиент положил на вклад «Депозитный» (в рублях), а $y$ — сумма, которую он положил на вклад «До востребования» (в рублях).

Всего у клиента было 45 000 рублей, которые он разделил на две части. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 45000$

Теперь рассмотрим доход по вкладам. Доход по вкладу «Депозитный» за год составил 9%, что в денежном выражении равно $0.09x$. Доход по вкладу «До востребования» составил 1%, что равно $0.01y$. Суммарный доход за год, согласно условию, равен 3410 рублей. Это дает нам второе уравнение:

$0.09x + 0.01y = 3410$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 45000 \\ 0.09x + 0.01y = 3410 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 45000 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.09x + 0.01(45000 - x) = 3410$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$0.09x + 450 - 0.01x = 3410$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$(0.09 - 0.01)x = 3410 - 450$

$0.08x = 2960$

Найдем $x$:

$x = \frac{2960}{0.08} = \frac{296000}{8} = 37000$

Итак, на вклад «Депозитный» было положено 37 000 рублей.

Теперь найдем сумму $y$, положенную на вклад «До востребования»:

$y = 45000 - x = 45000 - 37000 = 8000$

На вклад «До востребования» было положено 8 000 рублей.

Выполним проверку. Общая сумма: $37000 + 8000 = 45000$ рублей. Общий доход: $0.09 \cdot 37000 + 0.01 \cdot 8000 = 3330 + 80 = 3410$ рублей. Все условия задачи выполнены.

Ответ: на вклад «Депозитный» клиент положил 37 000 рублей, а на вклад «До востребования» — 8 000 рублей.

1122. Смешав кислоту 70-процентной и 48-процентной концентрации, получили 660 г кислоты 60-процентной концентрации. Сколько было взято кислоты каждого вида?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса (в граммах) 70-процентного раствора кислоты, а $y$ — масса (в граммах) 48-процентного раствора кислоты.

Согласно условию, общая масса полученной смеси составляет 660 г. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 660$

Далее, составим уравнение, основанное на массе чистого вещества (кислоты) в растворах.

Масса чистой кислоты в первом растворе составляет $70\%$ от его общей массы, то есть $0.7x$ г.

Масса чистой кислоты во втором растворе составляет $48\%$ от его общей массы, то есть $0.48y$ г.

В итоговом 660-граммовом растворе концентрация кислоты равна $60\%$. Следовательно, масса чистой кислоты в нем равна:

$660 \cdot 0.60 = 396$ г

Так как масса чистой кислоты в итоговом растворе равна сумме масс чистой кислоты в исходных растворах, мы можем составить второе уравнение:

$0.7x + 0.48y = 396$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 660 \\ 0.7x + 0.48y = 396 \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 660 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.7x + 0.48(660 - x) = 396$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.7x + 316.8 - 0.48x = 396$

Приведем подобные слагаемые:

$0.22x = 396 - 316.8$

$0.22x = 79.2$

$x = \frac{79.2}{0.22} = \frac{7920}{22}$

$x = 360$

Итак, масса 70-процентной кислоты равна 360 г.

Теперь найдем массу 48-процентной кислоты, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 660 - 360 = 300$

Масса 48-процентной кислоты равна 300 г.

Ответ: было взято 360 г 70-процентной кислоты и 300 г 48-процентной кислоты.

1115. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой — 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $g$ — вес одного слитка золота в граммах, а $s$ — вес одного слитка серебра в граммах.

Из начального условия, что 9 слитков золота уравновешивают 11 слитков серебра, составим первое уравнение, отражающее равенство весов на чашах весов:

$9g = 11s$

Далее, один слиток золота с левой чаши меняют местами с одним слитком серебра с правой чаши. Рассмотрим, как это влияет на разницу в весе между правой и левой чашами.Изначально разница была равна нулю.С левой чаши убрали слиток золота (вес $g$) и добавили слиток серебра (вес $s$). Общее изменение веса на левой чаше равно $s - g$.На правую чашу убрали слиток серебра (вес $s$) и добавили слиток золота (вес $g$). Общее изменение веса на правой чаше равно $g - s$.

Новая разница в весе между правой и левой чашами составляет 13 г. Эта разница складывается из изменения веса на правой чаше и противоположного изменения веса на левой чаше:

Разница = (изменение на правой чаше) - (изменение на левой чаше)

$13 = (g - s) - (s - g)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$13 = g - s - s + g$

$13 = 2g - 2s$

$13 = 2(g - s)$

Из этого уравнения мы можем найти, на сколько граммов слиток золота тяжелее слитка серебра:

$g - s = \frac{13}{2} = 6.5$

Отсюда можно выразить вес слитка золота через вес слитка серебра:

$g = s + 6.5$

Теперь подставим это выражение в наше первое уравнение ($9g = 11s$):

$9(s + 6.5) = 11s$

Решим полученное уравнение относительно $s$:

$9s + 9 \cdot 6.5 = 11s$

$9s + 58.5 = 11s$

$11s - 9s = 58.5$

$2s = 58.5$

$s = \frac{58.5}{2} = 29.25$

Таким образом, вес одного слитка серебра равен 29.25 г.

Теперь найдем вес одного слитка золота:

$g = s + 6.5 = 29.25 + 6.5 = 35.75$

Вес одного слитка золота равен 35.75 г.

Ответ: один слиток золота весит 35.75 г, а один слиток серебра весит 29.25 г.

1117. Под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, остававшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена под яровые и какая под озимые культуры?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ га — это площадь, отведенная под яровые культуры.

Из условия известно, что под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. Значит, площадь под озимыми культурами составляет $(x + 480)$ га.

После уборки урожая произошли следующие изменения:

1. Убрали 80% озимых культур. Следовательно, неубранной осталась часть площади, равная $100\% - 80\% = 20\%$. В гектарах это составляет $0.2 \cdot (x + 480)$ га.

2. Убрали 25% яровых культур. Следовательно, неубранной осталась часть площади, равная $100\% - 25\% = 75\%$. В гектарах это составляет $0.75 \cdot x$ га.

По условию, оставшаяся площадь под озимыми оказалась на 300 га меньше, чем оставшаяся площадь под яровыми. Это можно выразить следующим уравнением:

$(Оставшаяся\;площадь\;под\;яровыми) - (Оставшаяся\;площадь\;под\;озимыми) = 300$

$0.75x - 0.2(x + 480) = 300$

Теперь решим это уравнение:

Раскроем скобки:

$0.75x - 0.2x - 0.2 \cdot 480 = 300$

$0.75x - 0.2x - 96 = 300$

Приведем подобные слагаемые:

$0.55x = 300 + 96$

$0.55x = 396$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{396}{0.55}$

$x = 720$

Итак, площадь, отведенная под яровые культуры, равна 720 га.

Теперь найдем площадь, отведенную под озимые культуры:

$x + 480 = 720 + 480 = 1200$ га.

Выполним проверку:

Оставшаяся площадь под яровыми: $0.75 \cdot 720 = 540$ га.

Оставшаяся площадь под озимыми: $0.2 \cdot 1200 = 240$ га.

Разница между ними: $540 - 240 = 300$ га, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: под яровые культуры было отведено 720 га, а под озимые культуры — 1200 га.

1119. Имеется молоко 5% жирности и 1% жирности. Сколько молока каждого вида надо взять, чтобы получить 3 л молока, жирность которого составляет 3,2% ?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество литров молока 5% жирности, а $y$ — количество литров молока 1% жирности.

Согласно условию, общий объем смеси должен составлять 3 литра. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 3$

Теперь составим уравнение на основе количества жира. Масса жира в $x$ литрах 5% молока составляет $0.05x$. Масса жира в $y$ литрах 1% молока составляет $0.01y$. В итоговой смеси, состоящей из 3 литров с жирностью 3,2%, общая масса жира равна $3 \times 0.032 = 0.096$ литров. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.01y = 0.096$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 0.05x + 0.01y = 0.096 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 3 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.05x + 0.01(3 - x) = 0.096$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.05x + 0.03 - 0.01x = 0.096$

$0.04x = 0.096 - 0.03$

$0.04x = 0.066$

$x = \frac{0.066}{0.04} = 1.65$

Таким образом, для смеси необходимо взять 1,65 л молока 5% жирности.

Теперь найдем количество 1% молока, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 1.65 = 1.35$

Следовательно, для смеси необходимо взять 1,35 л молока 1% жирности.

Ответ: необходимо взять 1,65 л молока 5% жирности и 1,35 л молока 1% жирности.

1121. Из 10-процентного и 15-процентного растворов соляной кислоты требуется составить 80 г раствора, концентрация которого равна 12%. Сколько граммов каждого раствора надо взять?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это масса (в граммах) 10-процентного раствора соляной кислоты, а $y$ — масса (в граммах) 15-процентного раствора.

По условию, общая масса итогового раствора должна составить 80 г. Это означает, что сумма масс двух исходных растворов равна 80 г. Составим первое уравнение:
$x + y = 80$

Теперь рассмотрим массу чистого вещества (соляной кислоты) в каждом растворе. Масса кислоты в 10-процентном растворе составляет $10\%$ от его массы, то есть $0.1x$. Масса кислоты в 15-процентном растворе составляет $15\%$ от его массы, то есть $0.15y$. Масса кислоты в итоговом 12-процентном растворе массой 80 г составляет $0.12 \times 80 = 9.6$ г.

Сумма масс кислоты в исходных растворах должна быть равна массе кислоты в конечном растворе. Составим второе уравнение:
$0.1x + 0.15y = 9.6$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, которую необходимо решить: $$ \begin{cases} x + y = 80 \\ 0.1x + 0.15y = 9.6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 80 - x$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$0.1x + 0.15(80 - x) = 9.6$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$0.1x + 12 - 0.15x = 9.6$
$12 - 0.05x = 9.6$
$0.05x = 12 - 9.6$
$0.05x = 2.4$
$x = \frac{2.4}{0.05} = \frac{240}{5} = 48$
Следовательно, масса 10-процентного раствора равна 48 г.

Теперь найдем массу 15-процентного раствора, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 80 - x$:
$y = 80 - 48 = 32$
Следовательно, масса 15-процентного раствора равна 32 г.

Ответ: необходимо взять 48 г 10-процентного раствора и 32 г 15-процентного раствора.