Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1080. Разложите на множители:

a) $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$;

б) $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4$, сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов многочлена. Общим множителем здесь является $x^3$.
Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4 = x^3(x^2 + 4a^2 - 4ax)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4a^2 - 4ax$. Переставим слагаемые для удобства: $x^2 - 4ax + 4a^2$.
Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
В нашем случае $p=x$ и $q=2a$. Проверим:
$(x - 2a)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2a) + (2a)^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$.
Выражение совпадает с тем, что в скобках.
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $x^3(x - 2a)^2$.
Ответ: $x^3(x-2a)^2$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2$, также начнем с вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем для всех членов является $a^4$.
Вынесем $a^4$ за скобки:
$4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 = a^4(4a^2 - 12ab + 9b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$.
Это выражение также является полным квадратом разности и соответствует формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Определим $p$ и $q$. Здесь $p^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $p=2a$. А $q^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $q=3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2pq = 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 12ab$. Знак "минус" перед ним соответствует формуле.
Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(2a - 3b)^2$.
В итоге получаем: $a^4(2a - 3b)^2$.
Ответ: $a^4(2a-3b)^2$.

1079. Упростите выражение:

а) $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$;

б) $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$;

в) $2\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\right)^2 + (2x - y)^2$;

г) $3\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\right)^2 - (3x - y)^2$.

а) Для упрощения выражения $(2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадратом суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем каждую скобку:
$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (4x^2 + 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 4x^2 - 12xy + 12xy + 9y^2 + 9y^2 = 8x^2 + 18y^2$
Ответ: $8x^2 + 18y^2$

б) Для упрощения выражения $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$ также используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Раскроем скобки, используя результаты из предыдущего пункта:
$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в ней на противоположные:
$(4x^2 + 12xy + 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (12xy + 12xy) + (9y^2 - 9y^2) = 24xy$
Ответ: $24xy$

в) Упростим выражение $2(\frac{x}{2} + \frac{y}{4})^2 + (2x - y)^2$.
Сначала раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы и умножим результат на 2:
$2\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + \left(\frac{y}{4}\right)^2\right) = 2\left(\frac{x^2}{4} + \frac{2xy}{8} + \frac{y^2}{16}\right) = 2\left(\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}\right) = \frac{2x^2}{4} + \frac{2xy}{4} + \frac{2y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}$
Теперь раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$
Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$\left(\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8}\right) + (4x^2 - 4xy + y^2) = \left(\frac{x^2}{2} + 4x^2\right) + \left(\frac{xy}{2} - 4xy\right) + \left(\frac{y^2}{8} + y^2\right)$
$= \left(\frac{x^2}{2} + \frac{8x^2}{2}\right) + \left(\frac{xy}{2} - \frac{8xy}{2}\right) + \left(\frac{y^2}{8} + \frac{8y^2}{8}\right) = \frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8}$
Ответ: $\frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8}$

г) Упростим выражение $3(\frac{x}{3} + \frac{y}{9})^2 - (3x - y)^2$.
Сначала преобразуем первое слагаемое. Раскроем скобку по формуле квадрата суммы и умножим на 3:
$3\left(\left(\frac{x}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + \left(\frac{y}{9}\right)^2\right) = 3\left(\frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81}\right) = \frac{3x^2}{9} + \frac{6xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}$
Теперь раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$
Вычтем второе выражение из первого:
$\left(\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27}\right) - (9x^2 - 6xy + y^2) = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$\left(\frac{x^2}{3} - 9x^2\right) + \left(\frac{2xy}{9} + 6xy\right) + \left(\frac{y^2}{27} - y^2\right) = \left(\frac{x^2}{3} - \frac{27x^2}{3}\right) + \left(\frac{2xy}{9} + \frac{54xy}{9}\right) + \left(\frac{y^2}{27} - \frac{27y^2}{27}\right) = -\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27}$
Ответ: $-\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27}$

1081. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой $y = x^2 - 4x + 5$, расположены в верхней полуплоскости.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = x^2 - 4x + 5$ расположены в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения аргумента $x$ значение функции $y$ является положительным, то есть $y > 0$.

Рассмотрим данную квадратичную функцию. Один из способов доказательства — найти её наименьшее значение. Если наименьшее значение функции больше нуля, то и все остальные её значения будут больше нуля.

Преобразуем выражение $x^2 - 4x + 5$ методом выделения полного квадрата. Для этого представим $x^2 - 4x$ как часть квадрата разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В нашем случае $2a = 4$, значит $a=2$.

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 5$

Чтобы получить полный квадрат $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$, представим число 5 как сумму $4+1$:

$y = (x^2 - 4x + 4) + 1$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом:

$y = (x - 2)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(x - 2)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $x = 2$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 1 = 1$.

Итак, мы получили, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $y \ge 1$. Так как $1 > 0$, то и $y > 0$ для всех $x$.

Поскольку ордината ($y$) любой точки графика функции всегда положительна, все точки графика расположены выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в верхней полуплоскости. Что и требовалось доказать.

Другой способ — проанализировать свойства параболы. Графиком функции $y = ax^2+bx+c$ является парабола. В нашем случае $y = x^2 - 4x + 5$, где $a=1$, $b=-4$, $c=5$. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если такая парабола не пересекает ось $Ox$, то она целиком лежит над ней. Отсутствие точек пересечения с осью $Ox$ означает, что уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней. Это можно проверить с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и график функции не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, весь график находится в верхней полуплоскости.

Ответ: Доказательство приведено. Наименьшее значение функции равно 1, которое больше 0, следовательно, все точки графика функции расположены в верхней полуплоскости.