Страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1086. Найдите решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} 0.75x + 20y = 95, \\ 0.32x - 25y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5u - 0.6v = 0, \\ 0.4u + 1.7v = 10.9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 10x = 4.6 + 3y, \\ 4y + 3.2 = 6x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -3b + 10a - 0.1 = 0, \\ 15a + 4b - 2.7 = 0. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:
$\begin{cases} 0,75x + 20y = 95, \\ 0,32x - 25y = 7. \end{cases}$
Для решения системы уравнений используем метод алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 5, а второе на 4.
$\begin{cases} 5 \cdot (0,75x + 20y) = 5 \cdot 95, \\ 4 \cdot (0,32x - 25y) = 4 \cdot 7. \end{cases}$
Получим систему:
$\begin{cases} 3,75x + 100y = 475, \\ 1,28x - 100y = 28. \end{cases}$
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(3,75x + 100y) + (1,28x - 100y) = 475 + 28$
$5,03x = 503$
$x = \frac{503}{5,03}$
$x = 100$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы:
$0,75 \cdot 100 + 20y = 95$
$75 + 20y = 95$
$20y = 95 - 75$
$20y = 20$
$y = 1$
Ответ: $x = 100, y = 1$.

б)Дана система уравнений:
$\begin{cases} 0,5u - 0,6v = 0, \\ 0,4u + 1,7v = 10,9. \end{cases}$
Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:
$0,5u = 0,6v$
$u = \frac{0,6v}{0,5}$
$u = 1,2v$
Подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:
$0,4 \cdot (1,2v) + 1,7v = 10,9$
$0,48v + 1,7v = 10,9$
$2,18v = 10,9$
$v = \frac{10,9}{2,18}$
$v = 5$
Теперь найдем значение $u$, подставив значение $v$ в выражение $u = 1,2v$:
$u = 1,2 \cdot 5$
$u = 6$
Ответ: $u = 6, v = 5$.

в)Дана система уравнений:
$\begin{cases} 10x = 4,6 + 3y, \\ 4y + 3,2 = 6x. \end{cases}$
Сначала приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:
$\begin{cases} 10x - 3y = 4,6, \\ -6x + 4y = -3,2. \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 4 \cdot (10x - 3y) = 4 \cdot 4,6, \\ 3 \cdot (-6x + 4y) = 3 \cdot (-3,2). \end{cases}$
$\begin{cases} 40x - 12y = 18,4, \\ -18x + 12y = -9,6. \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(40x - 12y) + (-18x + 12y) = 18,4 + (-9,6)$
$22x = 8,8$
$x = \frac{8,8}{22}$
$x = 0,4$
Подставим значение $x$ в уравнение $10x - 3y = 4,6$:
$10 \cdot 0,4 - 3y = 4,6$
$4 - 3y = 4,6$
$-3y = 4,6 - 4$
$-3y = 0,6$
$y = \frac{0,6}{-3}$
$y = -0,2$
Ответ: $x = 0,4, y = -0,2$.

г)Дана система уравнений:
$\begin{cases} -3b + 10a - 0,1 = 0, \\ 15a + 4b - 2,7 = 0. \end{cases}$
Приведем уравнения к стандартному виду $Aa + Bb = C$, расположив переменные в алфавитном порядке:
$\begin{cases} 10a - 3b = 0,1, \\ 15a + 4b = 2,7. \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы избавиться от переменной $b$:
$\begin{cases} 4 \cdot (10a - 3b) = 4 \cdot 0,1, \\ 3 \cdot (15a + 4b) = 3 \cdot 2,7. \end{cases}$
$\begin{cases} 40a - 12b = 0,4, \\ 45a + 12b = 8,1. \end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(40a - 12b) + (45a + 12b) = 0,4 + 8,1$
$85a = 8,5$
$a = \frac{8,5}{85}$
$a = 0,1$
Подставим значение $a$ в уравнение $10a - 3b = 0,1$:
$10 \cdot 0,1 - 3b = 0,1$
$1 - 3b = 0,1$
$-3b = 0,1 - 1$
$-3b = -0,9$
$b = \frac{-0,9}{-3}$
$b = 0,3$
Ответ: $a = 0,1, b = 0,3$.

1088. График линейной функции пересекает оси координат в точках $(-5; 0)$ и $(0; 11)$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, который соответствует ординате точки пересечения графика с осью $Oy$.

Из условия известно, что график функции пересекает ось ординат в точке $(0; 11)$. Это означает, что при $x = 0$, значение функции $y = 11$. Подставим эти значения в уравнение линейной функции, чтобы найти коэффициент $b$.

$11 = k \cdot 0 + b$

$b = 11$

Теперь уравнение функции имеет вид: $y = kx + 11$.

Чтобы найти угловой коэффициент $k$, используем вторую точку, через которую проходит график — точку пересечения с осью абсцисс $(-5; 0)$. Подставим её координаты в полученное уравнение:

$0 = k \cdot (-5) + 11$

$5k = 11$

$k = \frac{11}{5} = 2.2$

Мы нашли оба коэффициента: $k = 2.2$ и $b = 11$. Подставляем их в общее уравнение линейной функции, чтобы получить итоговую формулу.

Ответ: $y = 2.2x + 11$

1090. График линейной функции пересекает ось $x$ в точке с абсциссой 4, а ось $y$ в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Из условия задачи мы знаем, что график функции проходит через две точки:

1. Точка пересечения с осью $x$: абсцисса равна 4, значит, ордината $y=0$. Координаты этой точки $(4, 0)$.

2. Точка пересечения с осью $y$: ордината равна 11, значит, абсцисса $x=0$. Координаты этой точки $(0, 11)$.

Значение $b$ в уравнении $y = kx + b$ равно ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из координат точки $(0, 11)$ мы сразу находим, что $b = 11$.

Теперь уравнение функции имеет вид: $y = kx + 11$.

Для нахождения коэффициента $k$ подставим координаты второй точки $(4, 0)$ в это уравнение:

$0 = k \cdot 4 + 11$

Решим полученное уравнение относительно $k$:

$4k = -11$

$k = -\frac{11}{4}$

$k = -2.75$

Теперь, зная оба коэффициента, $k = -2.75$ и $b = 11$, мы можем записать итоговую формулу функции.

Ответ: $y = -2.75x + 11$

1092. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 5(x + 2y) - 3 = x + 5, \\ y + 4(x - 3y) = 50; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2.5(x - 3y) - 3 = -3x + 0.5, \\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5(x + 2y) - 3 = x + 5, \\ y + 4(x - 3y) = 50. \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Преобразуем первое уравнение:
$5(x + 2y) - 3 = x + 5$
$5x + 10y - 3 = x + 5$
Перенесем члены с переменными в левую часть, а постоянные члены в правую:
$5x - x + 10y = 5 + 3$
$4x + 10y = 8$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$2x + 5y = 4$

Преобразуем второе уравнение:
$y + 4(x - 3y) = 50$
$y + 4x - 12y = 50$
Приведем подобные члены:
$4x - 11y = 50$

В результате мы получили упрощенную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 5y = 4, \\ 4x - 11y = 50. \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами.

$-2(2x + 5y) = -2 \cdot 4$
$-4x - 10y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной упрощенной системы:

$(-4x - 10y) + (4x - 11y) = -8 + 50$
$-21y = 42$
$y = \frac{42}{-21}$
$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ в первое упрощенное уравнение $2x + 5y = 4$, чтобы найти $x$:

$2x + 5(-2) = 4$
$2x - 10 = 4$
$2x = 4 + 10$
$2x = 14$
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$

Таким образом, решение системы: $x = 7$, $y = -2$.

Ответ: $(7; -2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5, \\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Преобразуем первое уравнение:
$2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5$
$2,5x - 7,5y - 3 = -3x + 0,5$
Перенесем члены с переменными влево, а константы вправо:
$2,5x + 3x - 7,5y = 0,5 + 3$
$5,5x - 7,5y = 3,5$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 2:
$11x - 15y = 7$

Преобразуем второе уравнение:
$3(x + 6y) + 4 = 9y + 19$
$3x + 18y + 4 = 9y + 19$
Перенесем члены с переменными влево, а константы вправо:
$3x + 18y - 9y = 19 - 4$
$3x + 9y = 15$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$x + 3y = 5$

В результате мы получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} 11x - 15y = 7, \\ x + 3y = 5. \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить $x$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$11(5 - 3y) - 15y = 7$
$55 - 33y - 15y = 7$
$55 - 48y = 7$
$-48y = 7 - 55$
$-48y = -48$
$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 1$ в выражение $x = 5 - 3y$:

$x = 5 - 3(1)$
$x = 5 - 3$
$x = 2$

Таким образом, решение системы: $x = 2$, $y = 1$.

Ответ: $(2; 1)$.

1094. Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0, \\ 2x - y = 10; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2x - 7y = 4, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}. \end{cases}$$

а)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $
Для начала упростим первое уравнение. Перенесем 5 в правую часть и умножим уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:
$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 $
$ 12 \cdot (\frac{x}{3}) + 12 \cdot (\frac{y}{4}) = 12 \cdot 5 $
$ 4x + 3y = 60 $
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 4x + 3y = 60 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:
$ y = 2x - 10 $
Подставим это выражение для y в первое уравнение:
$ 4x + 3(2x - 10) = 60 $
$ 4x + 6x - 30 = 60 $
$ 10x = 90 $
$ x = 9 $
Теперь найдем значение y, подставив x = 9 в выражение y = 2x - 10:
$ y = 2(9) - 10 = 18 - 10 = 8 $
Ответ: (9; 8).

б)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 7y = 4 \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, умножив его на 6:
$ 6 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{y}{6}) = 6 \cdot 0 $
$ x - y = 0 $
Отсюда следует, что x = y.
Подставим x = y в первое уравнение системы:
$ 2y - 7y = 4 $
$ -5y = 4 $
$ y = -\frac{4}{5} $
Поскольку x = y, то:
$ x = -\frac{4}{5} $
Ответ: $(-\frac{4}{5}; -\frac{4}{5})$.

в)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0 \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y \end{cases} $
Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6:
$ 6 \cdot (\frac{2x}{3}) - 6 \cdot (\frac{y}{2}) = 0 $
$ 4x - 3y = 0 $
Во втором уравнении раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 3x - 3 - 9 = 1 - y $
$ 3x - 12 = 1 - y $
$ 3x + y = 13 $
Получаем упрощенную систему:
$ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ 3x + y = 13 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = 13 - 3x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4x - 3(13 - 3x) = 0 $
$ 4x - 39 + 9x = 0 $
$ 13x = 39 $
$ x = 3 $
Теперь найдем y:
$ y = 13 - 3(3) = 13 - 9 = 4 $
Ответ: (3; 4).

г)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6} \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3} \end{cases} $
Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Первое уравнение умножим на 6, а второе на 3:
1) $ 6 \cdot (\frac{5x}{6} - y) = 6 \cdot (-\frac{5}{6}) \implies 5x - 6y = -5 $
2) $ 3 \cdot (\frac{2x}{3} + 3y) = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) \implies 2x + 9y = -2 $
Получаем систему:
$ \begin{cases} 5x - 6y = -5 \\ 2x + 9y = -2 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} 3(5x - 6y) = 3(-5) \\ 2(2x + 9y) = 2(-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 18y = -15 \\ 4x + 18y = -4 \end{cases} $
Сложим полученные уравнения:
$ (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 - 4 $
$ 19x = -19 $
$ x = -1 $
Подставим x = -1 в уравнение 2x + 9y = -2:
$ 2(-1) + 9y = -2 $
$ -2 + 9y = -2 $
$ 9y = 0 $
$ y = 0 $
Ответ: (-1; 0).

1087. Составьте уравнение вида $y = kx + b$, график которого проходит через точки:

а) $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$;

б) $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$;

в) $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$;

г) $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$.

Для составления уравнения прямой вида $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$. Для этого можно составить и решить систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases}$

Угловой коэффициент $k$ можно найти по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. После нахождения $k$, коэффициент $b$ можно найти, подставив $k$ и координаты одной из точек в уравнение прямой: $b = y_1 - kx_1$.

Даны точки $M(5; 5)$ и $N(-10; -19)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 5 = k \cdot 5 + b \\ -19 = k \cdot (-10) + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-19 - 5}{-10 - 5} = \frac{-24}{-15} = \frac{8}{5}$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $M(5; 5)$ в уравнение:

$b = y - kx = 5 - \frac{8}{5} \cdot 5 = 5 - 8 = -3$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = \frac{8}{5}x - 3$

Даны точки $P(4; 1)$ и $Q(3; -5)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -5 = k \cdot 3 + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-5 - 1}{3 - 4} = \frac{-6}{-1} = 6$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $P(4; 1)$ в уравнение:

$b = y - kx = 1 - 6 \cdot 4 = 1 - 24 = -23$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = 6x - 23$

Даны точки $A(8; -1)$ и $B(-4; 17)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} -1 = k \cdot 8 + b \\ 17 = k \cdot (-4) + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{17 - (-1)}{-4 - 8} = \frac{18}{-12} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $A(8; -1)$ в уравнение:

$b = y - kx = -1 - (-\frac{3}{2}) \cdot 8 = -1 - (-12) = -1 + 12 = 11$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 11$

Даны точки $C(-19; 31)$ и $D(1; -9)$.

Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$:

$\begin{cases} 31 = k \cdot (-19) + b \\ -9 = k \cdot 1 + b \end{cases}$

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{-9 - 31}{1 - (-19)} = \frac{-40}{20} = -2$

Теперь найдем $b$, подставив $k$ и координаты точки $D(1; -9)$ в уравнение:

$b = y - kx = -9 - (-2) \cdot 1 = -9 + 2 = -7$

Искомое уравнение прямой:

Ответ: $y = -2x - 7$

1089. Прямая $y = kx + b$ проходит через точки $A(-1; 3)$ и $B(2; -1)$. Напишите уравнение этой прямой.

Для нахождения уравнения прямой вида $y = kx + b$, которая проходит через точки $A(-1; 3)$ и $B(2; -1)$, необходимо определить значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член). Так как обе точки принадлежат прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Это позволяет составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Подставим координаты точки $A(-1; 3)$ в уравнение $y = kx + b$:

$3 = k \cdot (-1) + b$

$-k + b = 3$

2. Подставим координаты точки $B(2; -1)$ в уравнение $y = kx + b$:

$-1 = k \cdot 2 + b$

$2k + b = -1$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} -k + b = 3 \\ 2k + b = -1 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит исключить переменную $b$:

$(2k + b) - (-k + b) = -1 - 3$

$2k + k + b - b = -4$

$3k = -4$

Отсюда находим значение $k$:

$k = -\frac{4}{3}$

Теперь подставим найденное значение $k$ в любое из уравнений системы, например, в первое ($-k + b = 3$):

$-(-\frac{4}{3}) + b = 3$

$\frac{4}{3} + b = 3$

Найдем $b$:

$b = 3 - \frac{4}{3}$

$b = \frac{9}{3} - \frac{4}{3}$

$b = \frac{5}{3}$

Теперь, когда мы нашли значения $k = -\frac{4}{3}$ и $b = \frac{5}{3}$, мы можем записать итоговое уравнение прямой, подставив их в общий вид $y = kx + b$.

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

Ответ: $y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

1091. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 81.

Рис. 81

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$. Для того чтобы задать функцию формулой, нужно найти коэффициенты $k$ и $b$ по графику.

1. Найдем коэффициент $b$. Он равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -1)$. Следовательно, $b = -1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Его можно вычислить по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — координаты двух любых точек, принадлежащих прямой. Возьмем с графика две точки с целочисленными координатами:

• Точка 1: $(0, -1)$
• Точка 2: $(-1, 2)$

Теперь вычислим коэффициент $k$:

$k = \frac{2 - (-1)}{-1 - 0} = \frac{2 + 1}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$.

3. Подставим найденные значения $k = -3$ и $b = -1$ в общее уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Получаем искомую формулу: $y = -3x - 1$.

Проверим правильность, подставив в уравнение координаты еще одной точки с графика, например, $(1, -4)$:

$-4 = -3 \cdot 1 - 1$

$-4 = -3 - 1$

$-4 = -4$

Равенство верное, значит, формула найдена правильно.

Ответ: $y = -3x - 1$.

1093. Найдите решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0, \\ 5x - y = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5x + 0.2y = 7, \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0, \\ 5m - 4n = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3, \\ 0.2u + 0.1v = 3.9. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 2 $

$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 2 $

$ 4x + 3y = 24 $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ 5x - y = 11 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$ -y = 11 - 5x $

$ y = 5x - 11 $

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$ 4x + 3(5x - 11) = 24 $

$ 4x + 15x - 33 = 24 $

$ 19x = 24 + 33 $

$ 19x = 57 $

$ x = \frac{57}{19} $

$ x = 3 $

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 3$ в выражение $y = 5x - 11$:

$ y = 5(3) - 11 $

$ y = 15 - 11 $

$ y = 4 $

Ответ: $(3; 4)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,5x + 0,2y = 7 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое уравнение на 10, а второе на 30 (наименьшее общее кратное для 3 и 10).

Первое уравнение:

$ 10 \cdot (0,5x + 0,2y) = 10 \cdot 7 $

$ 5x + 2y = 70 $

Второе уравнение:

$ 30 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y) = 30 \cdot 0 $

$ 10x - 3y = 0 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 70 \\ 10x - 3y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $10x$:

$ 10x = 3y \implies x = \frac{3}{10}y $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 5(\frac{3}{10}y) + 2y = 70 $

$ \frac{15}{10}y + 2y = 70 $

$ 1,5y + 2y = 70 $

$ 3,5y = 70 $

$ y = \frac{70}{3,5} $

$ y = 20 $

Теперь найдем $x$, подставив $y = 20$ в выражение $x = \frac{3}{10}y$:

$ x = \frac{3}{10} \cdot 20 $

$ x = 6 $

Ответ: $(6; 20)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное для 5 и 6), чтобы избавиться от дробей:

$ 30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0 $

$ 6m - 5n = 0 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $m$ через $n$:

$ 6m = 5n \implies m = \frac{5}{6}n $

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ 5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2 $

$ \frac{25}{6}n - 4n = 2 $

Умножим обе части уравнения на 6:

$ 25n - 24n = 12 $

$ n = 12 $

Теперь найдем $m$, подставив $n = 12$ в выражение $m = \frac{5}{6}n$:

$ m = \frac{5}{6} \cdot 12 $

$ m = 5 \cdot 2 $

$ m = 10 $

Ответ: $(10; 12)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = -3 \\ 0,2u + 0,1v = 3,9 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6, второе - на 10.

Первое уравнение:

$ 6 \cdot (\frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v) = 6 \cdot (-3) $

$ u - 2v = -18 $

Второе уравнение:

$ 10 \cdot (0,2u + 0,1v) = 10 \cdot 3,9 $

$ 2u + v = 39 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} u - 2v = -18 \\ 2u + v = 39 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$:

$ v = 39 - 2u $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ u - 2(39 - 2u) = -18 $

$ u - 78 + 4u = -18 $

$ 5u = -18 + 78 $

$ 5u = 60 $

$ u = \frac{60}{5} $

$ u = 12 $

Теперь найдем $v$, подставив $u = 12$ в выражение $v = 39 - 2u$:

$ v = 39 - 2(12) $

$ v = 39 - 24 $

$ v = 15 $

Ответ: $(12; 15)$.