Номер 1094, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1094, страница 218.

Условие.

1094. Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0, \\ 2x - y = 10; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2x - 7y = 4, \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 5 = 0 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $
Для начала упростим первое уравнение. Перенесем 5 в правую часть и умножим уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:
$ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 $
$ 12 \cdot (\frac{x}{3}) + 12 \cdot (\frac{y}{4}) = 12 \cdot 5 $
$ 4x + 3y = 60 $
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 4x + 3y = 60 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:
$ y = 2x - 10 $
Подставим это выражение для y в первое уравнение:
$ 4x + 3(2x - 10) = 60 $
$ 4x + 6x - 30 = 60 $
$ 10x = 90 $
$ x = 9 $
Теперь найдем значение y, подставив x = 9 в выражение y = 2x - 10:
$ y = 2(9) - 10 = 18 - 10 = 8 $
Ответ: (9; 8).

б)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 7y = 4 \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, умножив его на 6:
$ 6 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{y}{6}) = 6 \cdot 0 $
$ x - y = 0 $
Отсюда следует, что x = y.
Подставим x = y в первое уравнение системы:
$ 2y - 7y = 4 $
$ -5y = 4 $
$ y = -\frac{4}{5} $
Поскольку x = y, то:
$ x = -\frac{4}{5} $
Ответ: $(-\frac{4}{5}; -\frac{4}{5})$.

в)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0 \\ 3(x - 1) - 9 = 1 - y \end{cases} $
Упростим оба уравнения. Первое уравнение умножим на 6:
$ 6 \cdot (\frac{2x}{3}) - 6 \cdot (\frac{y}{2}) = 0 $
$ 4x - 3y = 0 $
Во втором уравнении раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 3x - 3 - 9 = 1 - y $
$ 3x - 12 = 1 - y $
$ 3x + y = 13 $
Получаем упрощенную систему:
$ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ 3x + y = 13 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = 13 - 3x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4x - 3(13 - 3x) = 0 $
$ 4x - 39 + 9x = 0 $
$ 13x = 39 $
$ x = 3 $
Теперь найдем y:
$ y = 13 - 3(3) = 13 - 9 = 4 $
Ответ: (3; 4).

г)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6} \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3} \end{cases} $
Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Первое уравнение умножим на 6, а второе на 3:
1) $ 6 \cdot (\frac{5x}{6} - y) = 6 \cdot (-\frac{5}{6}) \implies 5x - 6y = -5 $
2) $ 3 \cdot (\frac{2x}{3} + 3y) = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) \implies 2x + 9y = -2 $
Получаем систему:
$ \begin{cases} 5x - 6y = -5 \\ 2x + 9y = -2 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} 3(5x - 6y) = 3(-5) \\ 2(2x + 9y) = 2(-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 18y = -15 \\ 4x + 18y = -4 \end{cases} $
Сложим полученные уравнения:
$ (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 - 4 $
$ 19x = -19 $
$ x = -1 $
Подставим x = -1 в уравнение 2x + 9y = -2:
$ 2(-1) + 9y = -2 $
$ -2 + 9y = -2 $
$ 9y = 0 $
$ y = 0 $
Ответ: (-1; 0).