Номер 1097, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1097, страница 219.

Условие.

1097. Разложите на множители:

а) $15a^2 - 15b^2$;

б) $29a^2 + 29b^2 + 58ab$;

в) $10a^3 + 10b^3$;

г) $18a^3 - 18b^3$;

д) $47a^6 - 47b^6$;

е) $51a^6 + 51b^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения выражения $15a^2 - 15b^2$ на множители сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для $15a^2$ и $15b^2$ является $15$.
$15a^2 - 15b^2 = 15(a^2 - b^2)$
Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$15(a^2 - b^2) = 15(a - b)(a + b)$
Ответ: $15(a - b)(a + b)$

б) В выражении $29a^2 + 29b^2 + 58ab$ найдем общий множитель. Коэффициенты $29$, $29$ и $58$ делятся на $29$, так как $58 = 2 \times 29$. Вынесем $29$ за скобки.
$29a^2 + 29b^2 + 58ab = 29(a^2 + b^2 + 2ab)$
Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы увидеть известную формулу:
$29(a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Таким образом, получаем:
$29(a + b)^2$
Ответ: $29(a + b)^2$

в) В выражении $10a^3 + 10b^3$ вынесем общий множитель $10$ за скобки.
$10a^3 + 10b^3 = 10(a^3 + b^3)$
Выражение в скобках $a^3 + b^3$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Ответ: $10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

г) В выражении $18a^3 - 18b^3$ вынесем общий множитель $18$ за скобки.
$18a^3 - 18b^3 = 18(a^3 - b^3)$
Выражение в скобках $a^3 - b^3$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Ответ: $18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

д) Для разложения выражения $47a^6 - 47b^6$ вынесем общий множитель $47$ за скобки.
$47a^6 - 47b^6 = 47(a^6 - b^6)$
Выражение $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a^3$ и $y=b^3$:
$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$
Теперь мы имеем произведение разности кубов и суммы кубов. Разложим каждый из этих множителей:
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Собираем все множители вместе:
$47(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Ответ: $47(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) Для разложения выражения $51a^6 + 51b^6$ вынесем общий множитель $51$ за скобки.
$51a^6 + 51b^6 = 51(a^6 + b^6)$
Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов, записав $a^6 = (a^2)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$:
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:
$51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Ответ: $51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$