Номер 1092, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1092, страница 218.

Условие.

1092. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 5(x + 2y) - 3 = x + 5, \\ y + 4(x - 3y) = 50; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2.5(x - 3y) - 3 = -3x + 0.5, \\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5(x + 2y) - 3 = x + 5, \\ y + 4(x - 3y) = 50. \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Преобразуем первое уравнение:
$5(x + 2y) - 3 = x + 5$
$5x + 10y - 3 = x + 5$
Перенесем члены с переменными в левую часть, а постоянные члены в правую:
$5x - x + 10y = 5 + 3$
$4x + 10y = 8$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$2x + 5y = 4$

Преобразуем второе уравнение:
$y + 4(x - 3y) = 50$
$y + 4x - 12y = 50$
Приведем подобные члены:
$4x - 11y = 50$

В результате мы получили упрощенную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 5y = 4, \\ 4x - 11y = 50. \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами.

$-2(2x + 5y) = -2 \cdot 4$
$-4x - 10y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением исходной упрощенной системы:

$(-4x - 10y) + (4x - 11y) = -8 + 50$
$-21y = 42$
$y = \frac{42}{-21}$
$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ в первое упрощенное уравнение $2x + 5y = 4$, чтобы найти $x$:

$2x + 5(-2) = 4$
$2x - 10 = 4$
$2x = 4 + 10$
$2x = 14$
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$

Таким образом, решение системы: $x = 7$, $y = -2$.

Ответ: $(7; -2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5, \\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Преобразуем первое уравнение:
$2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5$
$2,5x - 7,5y - 3 = -3x + 0,5$
Перенесем члены с переменными влево, а константы вправо:
$2,5x + 3x - 7,5y = 0,5 + 3$
$5,5x - 7,5y = 3,5$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 2:
$11x - 15y = 7$

Преобразуем второе уравнение:
$3(x + 6y) + 4 = 9y + 19$
$3x + 18y + 4 = 9y + 19$
Перенесем члены с переменными влево, а константы вправо:
$3x + 18y - 9y = 19 - 4$
$3x + 9y = 15$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$x + 3y = 5$

В результате мы получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} 11x - 15y = 7, \\ x + 3y = 5. \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить $x$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$11(5 - 3y) - 15y = 7$
$55 - 33y - 15y = 7$
$55 - 48y = 7$
$-48y = 7 - 55$
$-48y = -48$
$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 1$ в выражение $x = 5 - 3y$:

$x = 5 - 3(1)$
$x = 5 - 3$
$x = 2$

Таким образом, решение системы: $x = 2$, $y = 1$.

Ответ: $(2; 1)$.