Номер 1085, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1085, страница 217.

Условие.

1085. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 12x - 7y = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7u + 2v = 1 \\ 17u + 6v = -9 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6x = 25y + 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4b + 7a = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 12x - 7y = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной x стали противоположными числами.

$-3 \cdot (4x - 5y) = -3 \cdot 6$

$-12x + 15y = -18$

Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное уравнение:

$(12x - 7y) + (-12x + 15y) = 2 + (-18)$

$12x - 7y - 12x + 15y = -16$

$8y = -16$

$y = -16 / 8$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти x:

$4x - 5(-2) = 6$

$4x + 10 = 6$

$4x = 6 - 10$

$4x = -4$

$x = -1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7u + 2v = 1 \\ 17u + 6v = -9 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной v стали противоположными.

$-3 \cdot (7u + 2v) = -3 \cdot 1$

$-21u - 6v = -3$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-21u - 6v) + (17u + 6v) = -3 + (-9)$

$-21u - 6v + 17u + 6v = -12$

$-4u = -12$

$u = -12 / (-4)$

$u = 3$

Подставим найденное значение $u = 3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти v:

$7(3) + 2v = 1$

$21 + 2v = 1$

$2v = 1 - 21$

$2v = -20$

$v = -10$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(u, v)$.

Ответ: $(3; -10)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x = 25y + 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases} $

Сначала приведем первое уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:

$6x - 25y = 1$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 6x - 25y = 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -6, чтобы коэффициенты при x стали противоположными.

$5 \cdot (6x - 25y) = 5 \cdot 1 \implies 30x - 125y = 5$

$-6 \cdot (5x - 16y) = -6 \cdot (-4) \implies -30x + 96y = 24$

Сложим полученные уравнения:

$(30x - 125y) + (-30x + 96y) = 5 + 24$

$30x - 125y - 30x + 96y = 29$

$-29y = 29$

$y = -1$

Подставим значение $y = -1$ во второе уравнение исходной системы ($5x - 16y = -4$):

$5x - 16(-1) = -4$

$5x + 16 = -4$

$5x = -4 - 16$

$5x = -20$

$x = -4$

Решение системы — пара чисел $(-4; -1)$.

Ответ: $(-4; -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4b + 7a = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases} $

Для удобства вычислений запишем переменные в обоих уравнениях в одном и том же порядке, например, в алфавитном (a, затем b):

$ \begin{cases} 7a + 4b = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases} $

Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при b стали противоположными числами ($12b$ и $-12b$).

$3 \cdot (7a + 4b) = 3 \cdot 90 \implies 21a + 12b = 270$

$2 \cdot (5a - 6b) = 2 \cdot 20 \implies 10a - 12b = 40$

Сложим полученные уравнения:

$(21a + 12b) + (10a - 12b) = 270 + 40$

$21a + 12b + 10a - 12b = 310$

$31a = 310$

$a = 10$

Подставим найденное значение $a = 10$ во второе уравнение исходной системы ($5a - 6b = 20$):

$5(10) - 6b = 20$

$50 - 6b = 20$

$-6b = 20 - 50$

$-6b = -30$

$b = 5$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(a, b)$.

Ответ: $(10; 5)$.