Номер 1084, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Способ сложения. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1084, страница 217.

Условие.

1084. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 40x + 3y = 10, \\ 20x - 7y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x - 2y = 1, \\ 15x - 3y = -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 33a + 42b = 10, \\ 9a + 14b = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 13x - 12y = 14, \\ 11x - 4 = 18y; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 10x - 9y = 8, \\ 21y + 15x = 0,5; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9y + 8z = -2, \\ 5z = -4y - 11. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 7y = 5 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ -2 \cdot (20x - 7y) = -2 \cdot 5 $
$ -40x + 14y = -10 $
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ -40x + 14y = -10 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$ (40x + 3y) + (-40x + 14y) = 10 + (-10) $
$ 17y = 0 $
$ y = 0 $
Подставим значение $y = 0$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$ 40x + 3 \cdot 0 = 10 $
$ 40x = 10 $
$ x = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25 $
Проверим решение, подставив $x = 0.25$ и $y = 0$ во второе уравнение: $20(0.25) - 7(0) = 5 - 0 = 5$. Верно.
Ответ: $x = 0.25$, $y = 0$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, разделив его на 3:
$ \frac{15x - 3y}{3} = \frac{-3}{3} $
$ 5x - y = -1 $
Теперь система имеет вид:
$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 5x - y = -1 \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 5x + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 5x - 2(5x + 1) = 1 $
$ 5x - 10x - 2 = 1 $
$ -5x = 3 $
$ x = -\frac{3}{5} = -0.6 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$:
$ y = 5(-\frac{3}{5}) + 1 = -3 + 1 = -2 $
Проверим решение, подставив $x = -0.6$ и $y = -2$ в исходное второе уравнение: $15(-0.6) - 3(-2) = -9 + 6 = -3$. Верно.
Ответ: $x = -0.6$, $y = -2$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 9a + 14b = 4 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Заметим, что $42 = 3 \cdot 14$. Умножим второе уравнение на -3:
$ -3 \cdot (9a + 14b) = -3 \cdot 4 $
$ -27a - 42b = -12 $
Новая система:
$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ -27a - 42b = -12 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$ (33a + 42b) + (-27a - 42b) = 10 - 12 $
$ 6a = -2 $
$ a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $
Подставим значение $a = -\frac{1}{3}$ во второе исходное уравнение:
$ 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 $
$ -3 + 14b = 4 $
$ 14b = 7 $
$ b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $
Проверим решение: $33(-\frac{1}{3}) + 42(\frac{1}{2}) = -11 + 21 = 10$. Верно.
Ответ: $a = -\frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{2}$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:
$ 11x - 18y = 4 $
Система теперь выглядит так:
$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 18y = 4 \end{cases} $
Решим методом сложения. Найдем наименьшее общее кратное для коэффициентов при $y$ (12 и 18), это 36. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ 3 \cdot (13x - 12y) = 3 \cdot 14 \implies 39x - 36y = 42 $
$ -2 \cdot (11x - 18y) = -2 \cdot 4 \implies -22x + 36y = -8 $
Сложим полученные уравнения:
$ (39x - 36y) + (-22x + 36y) = 42 - 8 $
$ 17x = 34 $
$ x = 2 $
Подставим $x = 2$ в уравнение $11x - 18y = 4$:
$ 11(2) - 18y = 4 $
$ 22 - 18y = 4 $
$ -18y = 4 - 22 $
$ -18y = -18 $
$ y = 1 $
Проверим решение: $13(2) - 12(1) = 26 - 12 = 14$. Верно.
Ответ: $x = 2$, $y = 1$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0.5 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$ 15x + 21y = 0.5 $
Система:
$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 15x + 21y = 0.5 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы избавиться от $x$:
$ 3 \cdot (10x - 9y) = 3 \cdot 8 \implies 30x - 27y = 24 $
$ -2 \cdot (15x + 21y) = -2 \cdot 0.5 \implies -30x - 42y = -1 $
Сложим полученные уравнения:
$ (30x - 27y) + (-30x - 42y) = 24 - 1 $
$ -69y = 23 $
$ y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} $
Подставим $y = -\frac{1}{3}$ в первое исходное уравнение:
$ 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 $
$ 10x + 3 = 8 $
$ 10x = 5 $
$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $
Проверим решение: $21(-\frac{1}{3}) + 15(\frac{1}{2}) = -7 + 7.5 = 0.5$. Верно.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{3}$.

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$ 4y + 5z = -11 $
Система:
$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 4y + 5z = -11 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -9:
$ 4 \cdot (9y + 8z) = 4 \cdot (-2) \implies 36y + 32z = -8 $
$ -9 \cdot (4y + 5z) = -9 \cdot (-11) \implies -36y - 45z = 99 $
Сложим полученные уравнения:
$ (36y + 32z) + (-36y - 45z) = -8 + 99 $
$ -13z = 91 $
$ z = -\frac{91}{13} = -7 $
Подставим $z = -7$ в первое исходное уравнение:
$ 9y + 8(-7) = -2 $
$ 9y - 56 = -2 $
$ 9y = 54 $
$ y = 6 $
Проверим решение: $5(-7) = -35$ и $-4(6) - 11 = -24 - 11 = -35$. Верно.
Ответ: $y = 6$, $z = -7$.