Страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1082. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9; \end{cases} $ в) $ \begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 8x - 17y = 4, \\ -8x + 15y = 4; \end{cases} $ г) $ \begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ 11x - 8y = 24. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 11y = 15 \\ 10x - 11y = 9 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($11$ и $-11$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x + 11y) + (10x - 11y) = 15 + 9$

$2x + 10x = 24$

$12x = 24$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{24}{12}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$2(2) + 11y = 15$

$4 + 11y = 15$

$11y = 15 - 4$

$11y = 11$

$y = 1$

Таким образом, решение системы: $x=2, y=1$.

Ответ: $(2; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x - 17y = 4 \\ -8x + 15y = 4 \end{cases} $

Используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($8$ и $-8$). Сложим уравнения:

$(8x - 17y) + (-8x + 15y) = 4 + 4$

$-17y + 15y = 8$

$-2y = 8$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{8}{-2}$

$y = -4$

Подставим найденное значение $y=-4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$8x - 17(-4) = 4$

$8x + 68 = 4$

$8x = 4 - 68$

$8x = -64$

$x = \frac{-64}{8}$

$x = -8$

Таким образом, решение системы: $x=-8, y=-4$.

Ответ: $(-8; -4)$

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 7y = 30 \\ 4x - 5y = 90 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x - 7y) - (4x - 5y) = 30 - 90$

$4x - 7y - 4x + 5y = -60$

$-2y = -60$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{-60}{-2}$

$y = 30$

Подставим найденное значение $y=30$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$4x - 7(30) = 30$

$4x - 210 = 30$

$4x = 30 + 210$

$4x = 240$

$x = \frac{240}{4}$

$x = 60$

Таким образом, решение системы: $x=60, y=30$.

Ответ: $(60; 30)$

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 13x - 8y = 28 \\ 11x - 8y = 24 \end{cases} $

Используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого:

$(13x - 8y) - (11x - 8y) = 28 - 24$

$13x - 11x = 4$

$2x = 4$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$11(2) - 8y = 24$

$22 - 8y = 24$

$-8y = 24 - 22$

$-8y = 2$

$y = \frac{2}{-8}$

$y = -\frac{1}{4}$

Таким образом, решение системы: $x=2, y=-\frac{1}{4}$.

Ответ: $(2; -1/4)$

1084. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 40x + 3y = 10, \\ 20x - 7y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x - 2y = 1, \\ 15x - 3y = -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 33a + 42b = 10, \\ 9a + 14b = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 13x - 12y = 14, \\ 11x - 4 = 18y; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 10x - 9y = 8, \\ 21y + 15x = 0,5; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9y + 8z = -2, \\ 5z = -4y - 11. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 7y = 5 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ -2 \cdot (20x - 7y) = -2 \cdot 5 $
$ -40x + 14y = -10 $
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ -40x + 14y = -10 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$ (40x + 3y) + (-40x + 14y) = 10 + (-10) $
$ 17y = 0 $
$ y = 0 $
Подставим значение $y = 0$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$ 40x + 3 \cdot 0 = 10 $
$ 40x = 10 $
$ x = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25 $
Проверим решение, подставив $x = 0.25$ и $y = 0$ во второе уравнение: $20(0.25) - 7(0) = 5 - 0 = 5$. Верно.
Ответ: $x = 0.25$, $y = 0$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, разделив его на 3:
$ \frac{15x - 3y}{3} = \frac{-3}{3} $
$ 5x - y = -1 $
Теперь система имеет вид:
$ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 5x - y = -1 \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 5x + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 5x - 2(5x + 1) = 1 $
$ 5x - 10x - 2 = 1 $
$ -5x = 3 $
$ x = -\frac{3}{5} = -0.6 $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$:
$ y = 5(-\frac{3}{5}) + 1 = -3 + 1 = -2 $
Проверим решение, подставив $x = -0.6$ и $y = -2$ в исходное второе уравнение: $15(-0.6) - 3(-2) = -9 + 6 = -3$. Верно.
Ответ: $x = -0.6$, $y = -2$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ 9a + 14b = 4 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Заметим, что $42 = 3 \cdot 14$. Умножим второе уравнение на -3:
$ -3 \cdot (9a + 14b) = -3 \cdot 4 $
$ -27a - 42b = -12 $
Новая система:
$ \begin{cases} 33a + 42b = 10 \\ -27a - 42b = -12 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$ (33a + 42b) + (-27a - 42b) = 10 - 12 $
$ 6a = -2 $
$ a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $
Подставим значение $a = -\frac{1}{3}$ во второе исходное уравнение:
$ 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 $
$ -3 + 14b = 4 $
$ 14b = 7 $
$ b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $
Проверим решение: $33(-\frac{1}{3}) + 42(\frac{1}{2}) = -11 + 21 = 10$. Верно.
Ответ: $a = -\frac{1}{3}$, $b = \frac{1}{2}$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:
$ 11x - 18y = 4 $
Система теперь выглядит так:
$ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 18y = 4 \end{cases} $
Решим методом сложения. Найдем наименьшее общее кратное для коэффициентов при $y$ (12 и 18), это 36. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ 3 \cdot (13x - 12y) = 3 \cdot 14 \implies 39x - 36y = 42 $
$ -2 \cdot (11x - 18y) = -2 \cdot 4 \implies -22x + 36y = -8 $
Сложим полученные уравнения:
$ (39x - 36y) + (-22x + 36y) = 42 - 8 $
$ 17x = 34 $
$ x = 2 $
Подставим $x = 2$ в уравнение $11x - 18y = 4$:
$ 11(2) - 18y = 4 $
$ 22 - 18y = 4 $
$ -18y = 4 - 22 $
$ -18y = -18 $
$ y = 1 $
Проверим решение: $13(2) - 12(1) = 26 - 12 = 14$. Верно.
Ответ: $x = 2$, $y = 1$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0.5 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$ 15x + 21y = 0.5 $
Система:
$ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 15x + 21y = 0.5 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы избавиться от $x$:
$ 3 \cdot (10x - 9y) = 3 \cdot 8 \implies 30x - 27y = 24 $
$ -2 \cdot (15x + 21y) = -2 \cdot 0.5 \implies -30x - 42y = -1 $
Сложим полученные уравнения:
$ (30x - 27y) + (-30x - 42y) = 24 - 1 $
$ -69y = 23 $
$ y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} $
Подставим $y = -\frac{1}{3}$ в первое исходное уравнение:
$ 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 $
$ 10x + 3 = 8 $
$ 10x = 5 $
$ x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $
Проверим решение: $21(-\frac{1}{3}) + 15(\frac{1}{2}) = -7 + 7.5 = 0.5$. Верно.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{3}$.

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} $
Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$ 4y + 5z = -11 $
Система:
$ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 4y + 5z = -11 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -9:
$ 4 \cdot (9y + 8z) = 4 \cdot (-2) \implies 36y + 32z = -8 $
$ -9 \cdot (4y + 5z) = -9 \cdot (-11) \implies -36y - 45z = 99 $
Сложим полученные уравнения:
$ (36y + 32z) + (-36y - 45z) = -8 + 99 $
$ -13z = 91 $
$ z = -\frac{91}{13} = -7 $
Подставим $z = -7$ в первое исходное уравнение:
$ 9y + 8(-7) = -2 $
$ 9y - 56 = -2 $
$ 9y = 54 $
$ y = 6 $
Проверим решение: $5(-7) = -35$ и $-4(6) - 11 = -24 - 11 = -35$. Верно.
Ответ: $y = 6$, $z = -7$.

1083. Найдите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases} x - 6y = 17, \\ 5x + 6y = 13; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x - 7y = -12, \\ -4x + 3y = 12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ -5x + 2y = 45; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 9x - 4y = -13, \\ 9x - 2y = -20. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - 6y = 17, \\ 5x + 6y = 13. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-6$ и $6$). Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(x - 6y) + (5x + 6y) = 17 + 13$

$x + 5x = 30$

$6x = 30$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Теперь подставим найденное значение $x=5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$5 - 6y = 17$

$-6y = 17 - 5$

$-6y = 12$

$y = \frac{12}{-6}$

$y = -2$

Ответ: $(5; -2)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 7y = -12, \\ -4x + 3y = 12. \end{cases} $$

Используем метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при $x$ являются противоположными числами ($4$ и $-4$). Сложим почленно оба уравнения:

$(4x - 7y) + (-4x + 3y) = -12 + 12$

$-7y + 3y = 0$

$-4y = 0$

Отсюда находим $y$:

$y = 0$

Подставим значение $y=0$ в первое уравнение системы:

$4x - 7(0) = -12$

$4x = -12$

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ответ: $(-3; 0)$.

в) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ -5x + 2y = 45. \end{cases} $$

Для решения этой системы применим метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого:

$(3x + 2y) - (-5x + 2y) = 5 - 45$

$3x + 5x = -40$

$8x = -40$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{-40}{8}$

$x = -5$

Подставим найденное значение $x=-5$ в первое уравнение системы:

$3(-5) + 2y = 5$

$-15 + 2y = 5$

$2y = 5 + 15$

$2y = 20$

$y = \frac{20}{2}$

$y = 10$

Ответ: $(-5; 10)$.

г) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 9x - 4y = -13, \\ 9x - 2y = -20. \end{cases} $$

Используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого:

$(9x - 4y) - (9x - 2y) = -13 - (-20)$

$-4y - (-2y) = -13 + 20$

$-4y + 2y = 7$

$-2y = 7$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{7}{-2}$

$y = -3.5$

Подставим найденное значение $y=-3.5$ во второе уравнение системы:

$9x - 2(-3.5) = -20$

$9x + 7 = -20$

$9x = -20 - 7$

$9x = -27$

$x = \frac{-27}{9}$

$x = -3$

Ответ: $(-3; -3.5)$.

1085. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 12x - 7y = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7u + 2v = 1 \\ 17u + 6v = -9 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6x = 25y + 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4b + 7a = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 12x - 7y = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной x стали противоположными числами.

$-3 \cdot (4x - 5y) = -3 \cdot 6$

$-12x + 15y = -18$

Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное уравнение:

$(12x - 7y) + (-12x + 15y) = 2 + (-18)$

$12x - 7y - 12x + 15y = -16$

$8y = -16$

$y = -16 / 8$

$y = -2$

Подставим найденное значение $y = -2$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти x:

$4x - 5(-2) = 6$

$4x + 10 = 6$

$4x = 6 - 10$

$4x = -4$

$x = -1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7u + 2v = 1 \\ 17u + 6v = -9 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной v стали противоположными.

$-3 \cdot (7u + 2v) = -3 \cdot 1$

$-21u - 6v = -3$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-21u - 6v) + (17u + 6v) = -3 + (-9)$

$-21u - 6v + 17u + 6v = -12$

$-4u = -12$

$u = -12 / (-4)$

$u = 3$

Подставим найденное значение $u = 3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти v:

$7(3) + 2v = 1$

$21 + 2v = 1$

$2v = 1 - 21$

$2v = -20$

$v = -10$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(u, v)$.

Ответ: $(3; -10)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x = 25y + 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases} $

Сначала приведем первое уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:

$6x - 25y = 1$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 6x - 25y = 1 \\ 5x - 16y = -4 \end{cases} $

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -6, чтобы коэффициенты при x стали противоположными.

$5 \cdot (6x - 25y) = 5 \cdot 1 \implies 30x - 125y = 5$

$-6 \cdot (5x - 16y) = -6 \cdot (-4) \implies -30x + 96y = 24$

Сложим полученные уравнения:

$(30x - 125y) + (-30x + 96y) = 5 + 24$

$30x - 125y - 30x + 96y = 29$

$-29y = 29$

$y = -1$

Подставим значение $y = -1$ во второе уравнение исходной системы ($5x - 16y = -4$):

$5x - 16(-1) = -4$

$5x + 16 = -4$

$5x = -4 - 16$

$5x = -20$

$x = -4$

Решение системы — пара чисел $(-4; -1)$.

Ответ: $(-4; -1)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4b + 7a = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases} $

Для удобства вычислений запишем переменные в обоих уравнениях в одном и том же порядке, например, в алфавитном (a, затем b):

$ \begin{cases} 7a + 4b = 90 \\ 5a - 6b = 20 \end{cases} $

Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при b стали противоположными числами ($12b$ и $-12b$).

$3 \cdot (7a + 4b) = 3 \cdot 90 \implies 21a + 12b = 270$

$2 \cdot (5a - 6b) = 2 \cdot 20 \implies 10a - 12b = 40$

Сложим полученные уравнения:

$(21a + 12b) + (10a - 12b) = 270 + 40$

$21a + 12b + 10a - 12b = 310$

$31a = 310$

$a = 10$

Подставим найденное значение $a = 10$ во второе уравнение исходной системы ($5a - 6b = 20$):

$5(10) - 6b = 20$

$50 - 6b = 20$

$-6b = 20 - 50$

$-6b = -30$

$b = 5$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(a, b)$.

Ответ: $(10; 5)$.