Страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1096. Имеет ли решения система и сколько:

a) $$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21 \end{cases}$$

а)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2. \end{cases} $

Для того чтобы определить, имеет ли система решения и сколько, можно использовать несколько методов.

Метод 1: Сравнение коэффициентов.

Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ количество решений зависит от соотношения коэффициентов:

• Система не имеет решений, если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ (графики — параллельные прямые).
• Система имеет бесконечно много решений, если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ (графики — совпадающие прямые).
• Система имеет одно решение, если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (графики — пересекающиеся прямые).

В нашем случае коэффициенты равны: $ a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 1 $ и $ a_2 = -6, b_2 = 3, c_2 = 2 $.

Вычислим их отношения:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2} $

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, система уравнений не имеет решений.

Метод 2: Метод подстановки.

Выразим $ y $ из первого уравнения:

$ 2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1 $

Подставим полученное выражение для $ y $ во второе уравнение:

$ -6x + 3(2x - 1) = 2 $

Раскроем скобки и упростим:

$ -6x + 6x - 3 = 2 $

$ 0 \cdot x - 3 = 2 $

$ -3 = 2 $

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от $ x $. Это означает, что не существует таких значений $ x $ и $ y $, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. Следовательно, система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21. \end{cases} $

Метод 1: Сравнение коэффициентов.

Коэффициенты системы: $ a_1 = -5, b_1 = 2, c_1 = 7 $ и $ a_2 = 15, b_2 = -6, c_2 = -21 $.

Вычислим их отношения:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3} $

Поскольку все три отношения равны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечное множество решений. Графики этих уравнений представляют собой одну и ту же прямую.

Метод 2: Метод алгебраического сложения.

Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $ x $ и $ y $ стали противоположными коэффициентам второго уравнения:

$ 3 \cdot (-5x + 2y) = 3 \cdot 7 $

$ -15x + 6y = 21 $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} -15x + 6y = 21, \\ 15x - 6y = -21. \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений:

$ (-15x + 6y) + (15x - 6y) = 21 + (-21) $

$ 0x + 0y = 0 $

$ 0 = 0 $

Мы получили верное тождество $ 0 = 0 $. Это означает, что уравнения в системе являются зависимыми (одно можно получить из другого). Следовательно, любая пара чисел $ (x, y) $, являющаяся решением одного уравнения, будет также решением и второго. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

1098. Упростите выражение:

а) $2x(8x - 1) - (4x + 1)^2;$

б) $4(3y - 1)^2 - 18y(2y - 1).$

а) $2x(8x - 1) - (4x + 1)^2$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом, умножив $2x$ на каждый член в скобках:

$2x(8x - 1) = 2x \cdot 8x - 2x \cdot 1 = 16x^2 - 2x$

2. Раскроем вторую скобку, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(16x^2 - 2x) - (16x^2 + 8x + 1)$

4. Раскроем вторые скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$16x^2 - 2x - 16x^2 - 8x - 1$

5. Приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой переменной в одинаковой степени:

$(16x^2 - 16x^2) + (-2x - 8x) - 1 = 0 - 10x - 1 = -10x - 1$

Ответ: $-10x - 1$

б) $4(3y - 1)^2 - 18y(2y - 1)$

Для упрощения данного выражения выполним следующие шаги:

1. Раскроем первую скобку, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а затем умножим результат на 4:

$(3y - 1)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = 9y^2 - 6y + 1$

$4(9y^2 - 6y + 1) = 4 \cdot 9y^2 - 4 \cdot 6y + 4 \cdot 1 = 36y^2 - 24y + 4$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-18y$ на каждый член в скобках:

$-18y(2y - 1) = (-18y) \cdot 2y + (-18y) \cdot (-1) = -36y^2 + 18y$

3. Подставим полученные выражения в исходное и сложим их:

$(36y^2 - 24y + 4) + (-36y^2 + 18y) = 36y^2 - 24y + 4 - 36y^2 + 18y$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(36y^2 - 36y^2) + (-24y + 18y) + 4 = 0 - 6y + 4 = 4 - 6y$

Ответ: $4 - 6y$

1095. Найдите решение системы уравнений:

а) $ \begin{cases} \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y = 4, \\ 6x + 5y = 150; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u = 3, \\ 7u + 9v = -2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1, \\ 2x + 3y = -12; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0, \\ \frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3} = 0. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y = 4 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Для начала избавимся от дробей в первом уравнении. Умножим обе части первого уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 12):

$12 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y) = 12 \cdot 4$

$4x - y = 48$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - y = 48 \\ 6x + 5y = 150 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4x - 48$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$6x + 5(4x - 48) = 150$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$6x + 20x - 240 = 150$

$26x = 150 + 240$

$26x = 390$

$x = \frac{390}{26}$

$x = 15$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 15$ в выражение $y = 4x - 48$:

$y = 4 \cdot 15 - 48 = 60 - 48 = 12$

Решение системы: $x=15, y=12$.

Ответ: $(15; 12)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u = 3 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на 24 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 8):

$24 \cdot (\frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u) = 24 \cdot 3$

$8v - 3u = 72$

Перепишем систему, расположив переменные в одном порядке:

$\begin{cases} -3u + 8v = 72 \\ 7u + 9v = -2 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3:

$7 \cdot (-3u + 8v) = 7 \cdot 72 \implies -21u + 56v = 504$

$3 \cdot (7u + 9v) = 3 \cdot (-2) \implies 21u + 27v = -6$

Сложим полученные уравнения:

$(-21u + 56v) + (21u + 27v) = 504 + (-6)$

$83v = 498$

$v = \frac{498}{83}$

$v = 6$

Подставим значение $v = 6$ во второе исходное уравнение $7u + 9v = -2$:

$7u + 9 \cdot 6 = -2$

$7u + 54 = -2$

$7u = -2 - 54$

$7u = -56$

$u = \frac{-56}{7}$

$u = -8$

Решение системы: $u=-8, v=6$.

Ответ: $(-8; 6)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6):

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{6}) = 12 \cdot 1$

$3x + 2y = 12$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 3y = -12 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3:

$2 \cdot (3x + 2y) = 2 \cdot 12 \implies 6x + 4y = 24$

$-3 \cdot (2x + 3y) = -3 \cdot (-12) \implies -6x - 9y = 36$

Сложим полученные уравнения:

$(6x + 4y) + (-6x - 9y) = 24 + 36$

$-5y = 60$

$y = \frac{60}{-5}$

$y = -12$

Подставим значение $y = -12$ в уравнение $3x + 2y = 12$:

$3x + 2(-12) = 12$

$3x - 24 = 12$

$3x = 12 + 24$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Решение системы: $x=12, y=-12$.

Ответ: $(12; -12)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0 \\ \frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3} = 0 \end{cases}$

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $4a - 5b = 10$.

Второе уравнение: умножим на 15 (наименьшее общее кратное 5 и 3):

$15 \cdot (\frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3}) = 15 \cdot 0$

$3a - 5b + 5 = 0$

$3a - 5b = -5$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 4a - 5b = 10 \\ 3a - 5b = -5 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4a - 5b) - (3a - 5b) = 10 - (-5)$

$4a - 5b - 3a + 5b = 10 + 5$

$a = 15$

Подставим значение $a = 15$ в первое уравнение $4a - 5b = 10$:

$4 \cdot 15 - 5b = 10$

$60 - 5b = 10$

$-5b = 10 - 60$

$-5b = -50$

$b = \frac{-50}{-5}$

$b = 10$

Решение системы: $a=15, b=10$.

Ответ: $(15; 10)$.

1097. Разложите на множители:

а) $15a^2 - 15b^2$;

б) $29a^2 + 29b^2 + 58ab$;

в) $10a^3 + 10b^3$;

г) $18a^3 - 18b^3$;

д) $47a^6 - 47b^6$;

е) $51a^6 + 51b^6$.

а) Для разложения выражения $15a^2 - 15b^2$ на множители сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для $15a^2$ и $15b^2$ является $15$.
$15a^2 - 15b^2 = 15(a^2 - b^2)$
Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$15(a^2 - b^2) = 15(a - b)(a + b)$
Ответ: $15(a - b)(a + b)$

б) В выражении $29a^2 + 29b^2 + 58ab$ найдем общий множитель. Коэффициенты $29$, $29$ и $58$ делятся на $29$, так как $58 = 2 \times 29$. Вынесем $29$ за скобки.
$29a^2 + 29b^2 + 58ab = 29(a^2 + b^2 + 2ab)$
Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы увидеть известную формулу:
$29(a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Таким образом, получаем:
$29(a + b)^2$
Ответ: $29(a + b)^2$

в) В выражении $10a^3 + 10b^3$ вынесем общий множитель $10$ за скобки.
$10a^3 + 10b^3 = 10(a^3 + b^3)$
Выражение в скобках $a^3 + b^3$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Ответ: $10(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

г) В выражении $18a^3 - 18b^3$ вынесем общий множитель $18$ за скобки.
$18a^3 - 18b^3 = 18(a^3 - b^3)$
Выражение в скобках $a^3 - b^3$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Подставляем это разложение в исходное выражение:
$18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Ответ: $18(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

д) Для разложения выражения $47a^6 - 47b^6$ вынесем общий множитель $47$ за скобки.
$47a^6 - 47b^6 = 47(a^6 - b^6)$
Выражение $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a^3$ и $y=b^3$:
$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$
Теперь мы имеем произведение разности кубов и суммы кубов. Разложим каждый из этих множителей:
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Собираем все множители вместе:
$47(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Ответ: $47(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

е) Для разложения выражения $51a^6 + 51b^6$ вынесем общий множитель $51$ за скобки.
$51a^6 + 51b^6 = 51(a^6 + b^6)$
Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов, записав $a^6 = (a^2)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$:
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:
$51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Ответ: $51(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$