Страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1134. Какую фигуру на координатной плоскости задает система неравенств:

а) $ \begin{cases} y \le x, \\ y \ge 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \le -x + 7, \\ y \ge -x + 1? \end{cases} $

Данная система неравенств состоит из двух неравенств: $y \le x$ и $y \ge 7$.

Первое неравенство $y \le x$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = x$ и ниже нее. Прямая $y = x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Второе неравенство $y \ge 7$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = 7$ и выше нее. Прямая $y = 7$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

Фигура, задаваемая системой неравенств, является пересечением этих двух полуплоскостей. Чтобы найти вершину этой фигуры, решим систему уравнений, соответствующих граничным прямым: $$ \begin{cases} y = x, \\ y = 7. \end{cases} $$ Отсюда получаем $x = 7$ и $y = 7$. Таким образом, вершина фигуры находится в точке $(7, 7)$.

Фигура представляет собой неограниченную угловую область (угол), вершина которой находится в точке $(7, 7)$, а стороны являются лучами, выходящими из этой точки и лежащими на прямых $y = x$ (при $x \ge 7$) и $y = 7$ (при $x \ge 7$).

Ответ: Угол с вершиной в точке $(7, 7)$, стороны которого лежат на прямых $y = x$ и $y = 7$.

Данная система неравенств состоит из двух неравенств: $y \le -x + 7$ и $y \ge -x + 1$. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $-x + 1 \le y \le -x + 7$.

Эта система задает множество точек на координатной плоскости, которые находятся между двумя прямыми: $y = -x + 1$ и $y = -x + 7$.

Рассмотрим эти прямые. Угловой коэффициент для обеих прямых равен $k = -1$. Так как угловые коэффициенты равны, прямые параллельны друг другу.

Неравенство $y \le -x + 7$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = -x + 7$ и ниже нее.

Неравенство $y \ge -x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = -x + 1$ и выше нее.

Таким образом, решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, что представляет собой полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = -x + 1$ и $y = -x + 7$. Поскольку неравенства нестрогие, точки на самих прямых также являются частью фигуры.

Ответ: Полоса, заключенная между параллельными прямыми $y = -x + 1$ и $y = -x + 7$, включая сами прямые.

1136. Укажите какие-либо значения k и b, при которых система неравенств

$\begin{cases} y \le 3x + 2, \\ y \ge kx + b \end{cases}$

задаёт на координатной плоскости:

a) полосу;

б) угол.

Данная система неравенств:

задаёт на координатной плоскости пересечение двух полуплоскостей. Первая полуплоскость $y \le 3x + 2$ — это область, лежащая на прямой $y = 3x + 2$ и ниже неё. Вторая полуплоскость $y \ge kx + b$ — это область, лежащая на прямой $y = kx + b$ и выше неё.

а)

Чтобы система неравенств задавала полосу, граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Следовательно, для параллельности прямых необходимо, чтобы $k = 3$.

При $k = 3$ система принимает вид:

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x + 2$. Чтобы это неравенство задавало непустую полосу, прямая $y = 3x + b$ должна лежать ниже прямой $y = 3x + 2$ (или совпадать с ней). Это означает, что для любого значения $x$ должно выполняться условие $3x + b \le 3x + 2$, что упрощается до $b \le 2$. Если $b = 2$, то прямые совпадают, и решением будет сама прямая, что является вырожденным случаем полосы (с нулевой шириной). Чтобы получить полосу ненулевой ширины, необходимо выбрать $b < 2$.

В задаче требуется указать какие-либо значения. Выберем, например, $k = 3$ и $b = 0$. В этом случае система неравенств $3x \le y \le 3x + 2$ задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = 3x$ и $y = 3x + 2$.

Ответ: например, $k = 3, b = 0$.

б)

Чтобы система неравенств задавала угол, граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны.

Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Таким образом, для пересечения прямых необходимо, чтобы $k \ne 3$. Значение $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на параллельный перенос прямой $y = kx + b$ вдоль оси $y$ и не меняет ее наклона. Если угловые коэффициенты различны ($k \ne 3$), прямые обязательно пересекутся, и пересечение соответствующих полуплоскостей образует угловую область.

В задаче требуется указать какие-либо значения. Выберем, например, $k = 1$ и $b = 0$. Система примет вид:

Прямые $y = 3x + 2$ и $y = x$ пересекаются, так как их угловые коэффициенты ($3$ и $1$) различны. Решением системы является область на плоскости, расположенная ниже первой прямой и выше второй, что и представляет собой угол.

Ответ: например, $k = 1, b = 0$.

1133. Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:

а) $\begin{cases} y \le -x, \\ y \ge -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \ge x - 2, \\ y \le x + 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y \ge -2x + 4, \\ y \le x + 1. \end{cases}$

а) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \le -x \\ y \ge -5 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \le -x$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -x$ и ниже неё. Прямая $y = -x$ является биссектрисой второго и четвёртого координатных углов и проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая является частью решения и изображается сплошной линией.

Второе неравенство $y \ge -5$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -5$ и выше неё. Прямая $y = -5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -5)$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта прямая также является частью решения и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это область, которая находится ниже или на прямой $y = -x$ и выше или на прямой $y = -5$.

Для построения найдём точку пересечения граничных прямых $y = -x$ и $y = -5$. Приравнивая $y$, получаем $-x = -5$, откуда $x=5$. Следовательно, точка пересечения — $(5, -5)$.

Искомое множество точек представляет собой неограниченную угловую область, ограниченную двумя лучами, выходящими из точки $(5, -5)$.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой угол с вершиной в точке $(5, -5)$, стороны которого лежат на прямых $y = -x$ и $y = -5$.

б) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 3 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \ge x - 2$ задаёт полуплоскость, лежащую на прямой $y = x - 2$ и выше неё. Эта прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Линия сплошная, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $y \le x + 3$ задаёт полуплоскость, лежащую на прямой $y = x + 3$ и ниже неё. Эта прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Линия также сплошная.

Граничные прямые $y = x - 2$ и $y = x + 3$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=1$, следовательно, они параллельны.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, расположенная между двумя параллельными прямыми. Поскольку неравенства нестрогие, сами прямые $y=x-2$ и $y=x+3$ включаются в искомое множество.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой полосу, заключённую между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 3$, включая сами прямые.

в) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge -2x + 4 \\ y \le x + 1 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \ge -2x + 4$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -2x + 4$ и выше неё. Прямая $y = -2x + 4$ проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$. Линия сплошная.

Второе неравенство $y \le x + 1$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = x + 1$ и ниже неё. Прямая $y = x + 1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Линия сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух областей. Угловые коэффициенты прямых различны ($-2$ и $1$), поэтому прямые пересекаются. Найдём точку их пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Приравниваем правые части: $-2x + 4 = x + 1$.

$3 = 3x \implies x = 1$

Подставим $x=1$ во второе уравнение: $y = 1 + 1 = 2$.

Точка пересечения прямых — $(1, 2)$.

Искомое множество точек — это угол, образованный пересечением двух полуплоскостей, ограниченный лучами, исходящими из точки $(1, 2)$. Так как неравенства нестрогие, стороны угла (лучи, лежащие на прямых) включаются в решение.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой угол с вершиной в точке $(1, 2)$, стороны которого лежат на прямых $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$.

1135. Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств

$$\begin{cases} y \le -0.5x + 2, \\ x \ge 0, \\ y \ge 0, \end{cases}$$

и найдите её площадь.

Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств

Данная система неравенств:

$ \begin{cases} y \le -0,5x + 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $

Проанализируем систему.
1. Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ означают, что искомая фигура находится в первой координатной четверти, включая её границы — положительные части осей $Ox$ и $Oy$.
2. Неравенство $y \le -0,5x + 2$ задаёт полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -0,5x + 2$, включая саму прямую.

Для построения граничной прямой $y = -0,5x + 2$ найдём её точки пересечения с осями координат:
- При $x = 0$ имеем $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью $Oy$: $A(0; 2)$.
- При $y = 0$ имеем $0 = -0,5x + 2$, откуда $0,5x = 2$ и $x = 4$. Точка пересечения с осью $Ox$: $B(4; 0)$.

Таким образом, фигура, которую задаёт система неравенств, является пересечением первой координатной четверти и полуплоскости под прямой $y = -0,5x + 2$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $O(0; 0)$ (начало координат), $A(0; 2)$ и $B(4; 0)$.

Ответ: Фигура, задаваемая системой неравенств, — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0; 0), (4; 0) и (0; 2).

и найдите её площадь

Полученная фигура — это прямоугольный треугольник $OAB$, катеты которого лежат на координатных осях.

Длина катета $OA$, лежащего на оси $Oy$, равна ординате точки $A$ и составляет 2 единицы.

Длина катета $OB$, лежащего на оси $Ox$, равна абсциссе точки $B$ и составляет 4 единицы.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле половины произведения длин его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$

Подставляем значения длин катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

Ответ: 4.

1138. Составьте уравнение с переменными $u$ и $v$, решением которого служит пара чисел вида $(u; v)$:

а) $(10; 3)$;

б) $(0; -7)$;

в) $(0,6; -0,8)$;

г) $(-1,4; -3,6)$.

а) Для того чтобы составить уравнение, решением которого является пара чисел $(u; v) = (10; 3)$, нужно подобрать такое соотношение между $u$ и $v$, которое превращается в верное равенство при подстановке $u = 10$ и $v = 3$. Существует бесконечное множество таких уравнений.
Самый простой способ — составить уравнение вида $u+v=C$ или $u-v=C$.
Возьмем сумму:
$u + v = 10 + 3 = 13$
Таким образом, уравнение $u + v = 13$ имеет решением пару $(10; 3)$, так как $10 + 3 = 13$ — верное равенство.
Ответ: $u + v = 13$.

б) Дана пара чисел $(u; v) = (0; -7)$.
Используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Найдем сумму переменных:
$u + v = 0 + (-7) = -7$
Уравнение: $u + v = -7$.
Проверка: $0 + (-7) = -7$, что верно.
Поскольку одна из координат равна нулю ($u=0$), можно составить еще более простое уравнение, например, $v = -7$. Формально это уравнение с двумя переменными, которое можно записать как $0 \cdot u + v = -7$.
Ответ: $u + v = -7$ (или, например, $v=-7$).

в) Дана пара чисел $(u; v) = (0,6; -0,8)$.
Найдем сумму переменных:
$u + v = 0,6 + (-0,8) = -0,2$
Получаем уравнение $u + v = -0,2$.
Это корректный ответ, но часто предпочитают уравнения с целыми коэффициентами. Чтобы избавиться от дробей, можно найти более сложное соотношение.
Заметим, что $u = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ и $v = -0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.
Из этих соотношений видно, что $5u=3$ и $5v=-4$.
Можно найти связь между $u$ и $v$: $\frac{v}{u} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3}$, откуда $3v = -4u$.
Перенеся все слагаемые в одну часть, получим уравнение с целыми коэффициентами:
$4u + 3v = 0$
Проверка: $4 \cdot (0,6) + 3 \cdot (-0,8) = 2,4 - 2,4 = 0$, что верно.
Ответ: $4u + 3v = 0$ (или, например, $u + v = -0,2$).

г) Дана пара чисел $(u; v) = (-1,4; -3,6)$.
Найдем сумму переменных:
$u + v = -1,4 + (-3,6) = -5$
Получилось уравнение $u + v = -5$ с целым свободным членом, что является хорошим и простым вариантом.
Проверка: $-1,4 + (-3,6) = -5$, что верно.
В качестве альтернативы можно было найти разность:
$u - v = -1,4 - (-3,6) = -1,4 + 3,6 = 2,2$.
Уравнение $u - v = 2,2$ также является верным решением.
Ответ: $u + v = -5$.

1140. Известно, что:

а) пара значений переменных $x = 5$, $y = 7$ является решением уравнения $ax - 2y = 1$. Найдите коэффициент $a$;

б) пара значений переменных $x = -3$, $y = 8$ является решением уравнения $5x + by = 17$. Найдите коэффициент $b$.

а)

По условию, пара значений $x = 5$ и $y = 7$ является решением уравнения $ax - 2y = 1$. Это означает, что если подставить эти значения в уравнение, мы получим верное равенство.

Подставим $x = 5$ и $y = 7$ в уравнение:

$a \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 1$

Теперь решим получившееся уравнение относительно переменной $a$. Сначала выполним умножение:

$5a - 14 = 1$

Перенесем $-14$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5a = 1 + 14$

$5a = 15$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 5:

$a = \frac{15}{5}$

$a = 3$

Таким образом, искомый коэффициент $a$ равен 3.

Ответ: $a = 3$.

б)

Аналогично первому пункту, подставим пару значений $x = -3$ и $y = 8$ в уравнение $5x + by = 17$, так как она является его решением.

$5 \cdot (-3) + b \cdot 8 = 17$

Решим получившееся уравнение относительно переменной $b$. Сначала выполним умножение:

$-15 + 8b = 17$

Перенесем $-15$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$8b = 17 + 15$

$8b = 32$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на 8:

$b = \frac{32}{8}$

$b = 4$

Таким образом, искомый коэффициент $b$ равен 4.

Ответ: $b = 4$.

1137. Является ли решением уравнения $x^2 - 2y = 7$ пара значений переменных x и y:

a) (5; 8);

б) (-4; -11,5);

в) (-1; -3);

г) (1,2; -2,78)?

Для того чтобы определить, является ли пара значений $(x; y)$ решением уравнения, необходимо подставить эти значения в уравнение $x^2 - 2y = 7$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то пара является решением.

а) (5; 8)

Подставляем $x = 5$ и $y = 8$ в левую часть уравнения:

$x^2 - 2y = 5^2 - 2 \cdot 8 = 25 - 16 = 9$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $9 \neq 7$.

Так как равенство не выполняется, пара значений (5; 8) не является решением уравнения.

Ответ: не является.

б) (-4; -11,5)

Подставляем $x = -4$ и $y = -11,5$ в левую часть уравнения:

$x^2 - 2y = (-4)^2 - 2 \cdot (-11,5) = 16 - (-23) = 16 + 23 = 39$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $39 \neq 7$.

Так как равенство не выполняется, пара значений (-4; -11,5) не является решением уравнения.

Ответ: не является.

в) (-1; -3)

Подставляем $x = -1$ и $y = -3$ в левую часть уравнения:

$x^2 - 2y = (-1)^2 - 2 \cdot (-3) = 1 - (-6) = 1 + 6 = 7$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $7 = 7$.

Так как равенство выполняется, пара значений (-1; -3) является решением уравнения.

Ответ: является.

г) (1,2; -2,78)

Подставляем $x = 1,2$ и $y = -2,78$ в левую часть уравнения:

$x^2 - 2y = (1,2)^2 - 2 \cdot (-2,78) = 1,44 - (-5,56) = 1,44 + 5,56 = 7$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $7 = 7$.

Так как равенство выполняется, пара значений (1,2; -2,78) является решением уравнения.

Ответ: является.

1139. Докажите, что если в уравнении $ax + by = 81$ коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что пара чисел $(15; 40)$ может быть решением уравнения $ax + by = 81$ при условии, что коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами.

Если пара $(15; 40)$ является решением, то при подстановке значений $x=15$ и $y=40$ в исходное уравнение, мы должны получить верное числовое равенство:

$a \cdot 15 + b \cdot 40 = 81$

Рассмотрим левую часть полученного равенства $15a + 40b$. Поскольку $a$ и $b$ по условию являются целыми числами, то и вся левая часть должна быть целым числом.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $a$ и $b$:

Для чисел 15 и 40: $15 = 3 \cdot 5$, $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

НОД(15, 40) = 5.

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части уравнения:

$5 \cdot (3a) + 5 \cdot (8b) = 81$

$5(3a + 8b) = 81$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, то выражение в скобках $3a + 8b$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $k$, где $k = 3a + 8b$. Тогда уравнение принимает вид:

$5k = 81$

Из этого равенства следует, что левая часть, $5k$, является числом, которое делится нацело на 5. Однако правая часть, число 81, не делится нацело на 5 (при делении на 5 дает в остатке 1). Таким образом, мы получили противоречие: число, кратное 5, равно числу, не кратному 5, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Пара чисел $(15; 40)$ не может быть решением уравнения $ax + by = 81$, если коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, так как подстановка этих значений приводит к уравнению $15a + 40b = 81$, левая часть которого всегда делится на 5, а правая — нет, что делает невозможным существование целых решений $a$ и $b$.