Номер 1139, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1139, страница 226.

Условие.

1139. Докажите, что если в уравнении $ax + by = 81$ коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что пара чисел $(15; 40)$ может быть решением уравнения $ax + by = 81$ при условии, что коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами.

Если пара $(15; 40)$ является решением, то при подстановке значений $x=15$ и $y=40$ в исходное уравнение, мы должны получить верное числовое равенство:

$a \cdot 15 + b \cdot 40 = 81$

Рассмотрим левую часть полученного равенства $15a + 40b$. Поскольку $a$ и $b$ по условию являются целыми числами, то и вся левая часть должна быть целым числом.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $a$ и $b$:

Для чисел 15 и 40: $15 = 3 \cdot 5$, $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

НОД(15, 40) = 5.

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части уравнения:

$5 \cdot (3a) + 5 \cdot (8b) = 81$

$5(3a + 8b) = 81$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, то выражение в скобках $3a + 8b$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $k$, где $k = 3a + 8b$. Тогда уравнение принимает вид:

$5k = 81$

Из этого равенства следует, что левая часть, $5k$, является числом, которое делится нацело на 5. Однако правая часть, число 81, не делится нацело на 5 (при делении на 5 дает в остатке 1). Таким образом, мы получили противоречие: число, кратное 5, равно числу, не кратному 5, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Пара чисел $(15; 40)$ не может быть решением уравнения $ax + by = 81$, если коэффициенты $a$ и $b$ — целые числа, так как подстановка этих значений приводит к уравнению $15a + 40b = 81$, левая часть которого всегда делится на 5, а правая — нет, что делает невозможным существование целых решений $a$ и $b$.