Номер 1135, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1135, страница 226.

Условие.

1135. Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств

$$\begin{cases} y \le -0.5x + 2, \\ x \ge 0, \\ y \ge 0, \end{cases}$$

и найдите её площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств

Данная система неравенств:

$ \begin{cases} y \le -0,5x + 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $

Проанализируем систему.
1. Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ означают, что искомая фигура находится в первой координатной четверти, включая её границы — положительные части осей $Ox$ и $Oy$.
2. Неравенство $y \le -0,5x + 2$ задаёт полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -0,5x + 2$, включая саму прямую.

Для построения граничной прямой $y = -0,5x + 2$ найдём её точки пересечения с осями координат:
- При $x = 0$ имеем $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью $Oy$: $A(0; 2)$.
- При $y = 0$ имеем $0 = -0,5x + 2$, откуда $0,5x = 2$ и $x = 4$. Точка пересечения с осью $Ox$: $B(4; 0)$.

Таким образом, фигура, которую задаёт система неравенств, является пересечением первой координатной четверти и полуплоскости под прямой $y = -0,5x + 2$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $O(0; 0)$ (начало координат), $A(0; 2)$ и $B(4; 0)$.

Ответ: Фигура, задаваемая системой неравенств, — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0; 0), (4; 0) и (0; 2).

и найдите её площадь

Полученная фигура — это прямоугольный треугольник $OAB$, катеты которого лежат на координатных осях.

Длина катета $OA$, лежащего на оси $Oy$, равна ординате точки $A$ и составляет 2 единицы.

Длина катета $OB$, лежащего на оси $Ox$, равна абсциссе точки $B$ и составляет 4 единицы.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле половины произведения длин его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$

Подставляем значения длин катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

Ответ: 4.