Номер 1128, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1128, страница 225.

Условие.

1128. Постройте прямую $y = \frac{1}{3}x$. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $y > \frac{1}{3}x$;

б) $y < \frac{1}{3}x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи сначала построим граничную прямую $y = \frac{1}{3}x$. Это уравнение прямой пропорциональности, её график проходит через начало координат.

Чтобы построить прямую, достаточно двух точек:

1. Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Первая точка — $(0, 0)$.
2. Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Вторая точка — $(3, 1)$.

Проводим прямую через эти две точки. Так как неравенства в задании строгие ($>$ и <), сама прямая не является частью решения, и её следует изображать штриховой линией. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости.

а)

Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{3}x$. Это множество точек, которые лежат выше прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Чтобы убедиться в этом, выберем любую контрольную точку, не лежащую на прямой. Например, точку $(0, 1)$, которая находится выше прямой. Подставим её координаты в неравенство:

$1 > \frac{1}{3} \cdot 0$

$1 > 0$

Неравенство верное, значит, все точки в той же полуплоскости, что и $(0, 1)$, удовлетворяют данному неравенству. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y > \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше штриховой прямой $y = \frac{1}{3}x$.

б)

Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x$. Это множество точек, которые лежат ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Для проверки выберем контрольную точку из нижней полуплоскости, например, $(3, 0)$. Подставим её координаты в неравенство:

$0 < \frac{1}{3} \cdot 3$

$0 < 1$

Неравенство верное. Следовательно, все точки в полуплоскости ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$ являются решениями. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y < \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже штриховой прямой $y = \frac{1}{3}x$.