Номер 2, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 2, страница 223.

Условие.

2 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Решение 5.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы алгебраически сложить уравнения системы для получения нового линейного уравнения с одной переменной. Чтобы это стало возможным, необходимо предварительно преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5$ и $-5$).

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Пример:

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 5x - 3y = 4 \end{cases}$

Шаг 1: Подготовка уравнений к сложению.

Наша задача — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, при $y$) стали противоположными числами. В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $2$, а во втором — $-3$. Наименьшее общее кратное для чисел $2$ и $3$ — это $6$. Чтобы получить коэффициенты $6$ и $-6$, умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$.

Умножаем первое уравнение на $3$:

$3 \cdot (3x + 2y) = 3 \cdot 10 \implies 9x + 6y = 30$

Умножаем второе уравнение на $2$:

$2 \cdot (5x - 3y) = 2 \cdot 4 \implies 10x - 6y = 8$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 9x + 6y = 30 \\ 10x - 6y = 8 \end{cases}$

Шаг 2: Почленное сложение уравнений.

Сложим левые и правые части полученных уравнений:

$(9x + 6y) + (10x - 6y) = 30 + 8$

Приводим подобные слагаемые. Переменные $6y$ и $-6y$ взаимно уничтожаются:

$19x = 38$

Шаг 3: Решение полученного уравнения с одной переменной.

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{38}{19}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной.

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений системы. Например, в первое: $3x + 2y = 10$.

$3(2) + 2y = 10$

$6 + 2y = 10$

$2y = 10 - 6$

$2y = 4$

$y = 2$

Шаг 5: Запись ответа.

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 2)$. Для уверенности можно сделать проверку, подставив значения во второе исходное уравнение: $5(2) - 3(2) = 10 - 6 = 4$. Равенство $4=4$ верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: решением системы является пара чисел $(2; 2)$.