Номер 1131, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1131, страница 225.

Условие.

1131. Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой:

а) $y = x - 1.3$;

б) $x + y = 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Уравнение прямой задано в виде $y = x - 1,3$.

Полуплоскость, расположенная "выше" прямой, — это множество всех точек $(x, y)$, для которых ордината $y$ при фиксированной абсциссе $x$ больше, чем ордината соответствующей точки на прямой. Ордината точек на прямой равна $x - 1,3$. Следовательно, для всех точек искомой полуплоскости должно выполняться строгое неравенство:

$y > x - 1,3$

Для проверки можно взять любую точку, не лежащую на прямой. Например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в полученное неравенство: $0 > 0 - 1,3$, что равносильно $0 > -1,3$. Это верное неравенство. Так как точка $(0, 0)$ действительно расположена выше прямой $y = x - 1,3$ (прямая пересекает ось ординат в точке $(0; -1,3)$), то неравенство определено верно.

Ответ: $y > x - 1,3$.

б) Уравнение прямой задано в виде $x + y = 5$.

Чтобы определить полуплоскость, расположенную "выше" прямой, удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$. Перенесем $x$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$y = 5 - x$

Теперь задача аналогична предыдущему пункту. Точки, расположенные "выше" прямой, — это точки, ординаты которых больше, чем ординаты точек на прямой. Таким образом, искомое неравенство имеет вид:

$y > 5 - x$

Это неравенство можно записать и в другом виде, перенеся $x$ обратно в левую часть:

$x + y > 5$

Проверим с помощью контрольной точки, например, начала координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство $x + y > 5$: $0 + 0 > 5$, что дает $0 > 5$. Это неверное неравенство. Следовательно, точка $(0, 0)$ не принадлежит искомой полуплоскости (она лежит ниже прямой). Это правильный результат, так как прямая $y = 5-x$ пересекает оси в точках $(5, 0)$ и $(0, 5)$, а начало координат находится под этой прямой. Значит, знак неравенства выбран верно.

Ответ: $y > 5 - x$ (или $x + y > 5$).