Номер 1136, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1136, страница 226.

Условие.

1136. Укажите какие-либо значения k и b, при которых система неравенств

$\begin{cases} y \le 3x + 2, \\ y \ge kx + b \end{cases}$

задаёт на координатной плоскости:

a) полосу;

б) угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данная система неравенств:

$$ \begin{cases} y \le 3x + 2, \\ y \ge kx + b \end{cases} $$

задаёт на координатной плоскости пересечение двух полуплоскостей. Первая полуплоскость $y \le 3x + 2$ — это область, лежащая на прямой $y = 3x + 2$ и ниже неё. Вторая полуплоскость $y \ge kx + b$ — это область, лежащая на прямой $y = kx + b$ и выше неё.

а)

Чтобы система неравенств задавала полосу, граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Следовательно, для параллельности прямых необходимо, чтобы $k = 3$.

При $k = 3$ система принимает вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x + 2, \\ y \ge 3x + b \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b \le y \le 3x + 2$. Чтобы это неравенство задавало непустую полосу, прямая $y = 3x + b$ должна лежать ниже прямой $y = 3x + 2$ (или совпадать с ней). Это означает, что для любого значения $x$ должно выполняться условие $3x + b \le 3x + 2$, что упрощается до $b \le 2$. Если $b = 2$, то прямые совпадают, и решением будет сама прямая, что является вырожденным случаем полосы (с нулевой шириной). Чтобы получить полосу ненулевой ширины, необходимо выбрать $b < 2$.

В задаче требуется указать какие-либо значения. Выберем, например, $k = 3$ и $b = 0$. В этом случае система неравенств $3x \le y \le 3x + 2$ задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = 3x$ и $y = 3x + 2$.

Ответ: например, $k = 3, b = 0$.

б)

Чтобы система неравенств задавала угол, граничные прямые $y = 3x + 2$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны.

Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Таким образом, для пересечения прямых необходимо, чтобы $k \ne 3$. Значение $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на параллельный перенос прямой $y = kx + b$ вдоль оси $y$ и не меняет ее наклона. Если угловые коэффициенты различны ($k \ne 3$), прямые обязательно пересекутся, и пересечение соответствующих полуплоскостей образует угловую область.

В задаче требуется указать какие-либо значения. Выберем, например, $k = 1$ и $b = 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x + 2, \\ y \ge x \end{cases} $$

Прямые $y = 3x + 2$ и $y = x$ пересекаются, так как их угловые коэффициенты ($3$ и $1$) различны. Решением системы является область на плоскости, расположенная ниже первой прямой и выше второй, что и представляет собой угол.

Ответ: например, $k = 1, b = 0$.