Номер 1142, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1142, страница 227.

Условие.

1142. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения $a + b = 42$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нам нужно найти все пары простых чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a + b = 42$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа являются нечётными.

Сумма двух чисел $a + b = 42$ является чётным числом. Сумма двух чисел может быть чётной в двух случаях:

1. Оба числа ($a$ и $b$) чётные.
2. Оба числа ($a$ и $b$) нечётные.

Случай, когда одно число чётное, а другое нечётное, невозможен, так как их сумма была бы нечётной, а 42 — число чётное.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: оба числа, $a$ и $b$, — чётные простые числа.

Единственное чётное простое число — это 2. Если предположить, что $a = 2$ и $b = 2$, то их сумма будет $a + b = 2 + 2 = 4$. Это не равно 42, поэтому данный случай не даёт решений.

Случай 2: оба числа, $a$ и $b$, — нечётные простые числа.

В этом случае нам нужно найти пары нечётных простых чисел, которые в сумме дают 42. Будем последовательно перебирать возможные значения для одного из чисел (например, $a$) и проверять, является ли второе число ($b = 42 - a$) простым. Для того чтобы не находить одни и те же пары дважды, будем считать, что $a \le b$.

Начнем перебор с наименьшего нечётного простого числа — 3.

• Если $a = 3$, то $b = 42 - 3 = 39$. Число 39 не является простым, так как делится на 3 ($39 = 3 \times 13$).
• Если $a = 5$, то $b = 42 - 5 = 37$. Число 37 является простым. Таким образом, пара (5, 37) является решением.
• Если $a = 7$, то $b = 42 - 7 = 35$. Число 35 не является простым, так как делится на 5 ($35 = 5 \times 7$).
• Если $a = 11$, то $b = 42 - 11 = 31$. Число 31 является простым. Таким образом, пара (11, 31) является решением.
• Если $a = 13$, то $b = 42 - 13 = 29$. Число 29 является простым. Таким образом, пара (13, 29) является решением.
• Если $a = 17$, то $b = 42 - 17 = 25$. Число 25 не является простым, так как делится на 5 ($25 = 5^2$).
• Если $a = 19$, то $b = 42 - 19 = 23$. Число 23 является простым. Таким образом, пара (19, 23) является решением.

Следующее простое число после 19 — это 23. Если $a = 23$, то $b = 42 - 23 = 19$. Так как мы договорились, что $a \le b$, этот случай ($23 > 19$) и все последующие будут давать те же пары, которые мы уже нашли.

Таким образом, мы нашли все уникальные пары простых чисел.

Ответ: (5, 37), (11, 31), (13, 29), (19, 23).