Номер 1133, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1133, страница 226.

Условие.

1133. Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:

а) $\begin{cases} y \le -x, \\ y \ge -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \ge x - 2, \\ y \le x + 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y \ge -2x + 4, \\ y \le x + 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \le -x \\ y \ge -5 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \le -x$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -x$ и ниже неё. Прямая $y = -x$ является биссектрисой второго и четвёртого координатных углов и проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая является частью решения и изображается сплошной линией.

Второе неравенство $y \ge -5$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -5$ и выше неё. Прямая $y = -5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -5)$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта прямая также является частью решения и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это область, которая находится ниже или на прямой $y = -x$ и выше или на прямой $y = -5$.

Для построения найдём точку пересечения граничных прямых $y = -x$ и $y = -5$. Приравнивая $y$, получаем $-x = -5$, откуда $x=5$. Следовательно, точка пересечения — $(5, -5)$.

Искомое множество точек представляет собой неограниченную угловую область, ограниченную двумя лучами, выходящими из точки $(5, -5)$.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой угол с вершиной в точке $(5, -5)$, стороны которого лежат на прямых $y = -x$ и $y = -5$.

б) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 3 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \ge x - 2$ задаёт полуплоскость, лежащую на прямой $y = x - 2$ и выше неё. Эта прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Линия сплошная, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $y \le x + 3$ задаёт полуплоскость, лежащую на прямой $y = x + 3$ и ниже неё. Эта прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Линия также сплошная.

Граничные прямые $y = x - 2$ и $y = x + 3$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=1$, следовательно, они параллельны.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, расположенная между двумя параллельными прямыми. Поскольку неравенства нестрогие, сами прямые $y=x-2$ и $y=x+3$ включаются в искомое множество.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой полосу, заключённую между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 3$, включая сами прямые.

в) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge -2x + 4 \\ y \le x + 1 \end{cases} $.

Первое неравенство $y \ge -2x + 4$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = -2x + 4$ и выше неё. Прямая $y = -2x + 4$ проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$. Линия сплошная.

Второе неравенство $y \le x + 1$ задаёт множество точек, лежащих на прямой $y = x + 1$ и ниже неё. Прямая $y = x + 1$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Линия сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух областей. Угловые коэффициенты прямых различны ($-2$ и $1$), поэтому прямые пересекаются. Найдём точку их пересечения, решив систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Приравниваем правые части: $-2x + 4 = x + 1$.

$3 = 3x \implies x = 1$

Подставим $x=1$ во второе уравнение: $y = 1 + 1 = 2$.

Точка пересечения прямых — $(1, 2)$.

Искомое множество точек — это угол, образованный пересечением двух полуплоскостей, ограниченный лучами, исходящими из точки $(1, 2)$. Так как неравенства нестрогие, стороны угла (лучи, лежащие на прямых) включаются в решение.

Ответ: Множество точек, заданное системой, представляет собой угол с вершиной в точке $(1, 2)$, стороны которого лежат на прямых $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$.