Номер 1, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1, страница 223.

Условие.

1 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Решение 5.

Метод подстановки для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это алгоритм, который позволяет последовательно найти решение. Суть метода заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения через другую и подставить это выражение во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x + 3y = 5, \\2x - y = 3.\end{cases}$$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую.

Нужно выбрать одно из уравнений и выразить из него одну из переменных. Удобнее всего выбирать ту переменную, коэффициент при которой равен 1 или -1. В нашем случае в первом уравнении коэффициент при $x$ равен 1, а во втором коэффициент при $y$ равен -1. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 5 - 3y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь мы подставляем выражение $5 - 3y$ вместо переменной $x$ во второе уравнение системы ($2x - y = 3$). Важно подставлять именно в то уравнение, которое мы не использовали на первом шаге.

$2(5 - 3y) - y = 3$

Шаг 3: Решить получившееся уравнение с одной переменной.

Мы получили линейное уравнение, в котором есть только одна переменная — $y$. Решим его:

Раскроем скобки:

$10 - 6y - y = 3$

Приведём подобные слагаемые:

$10 - 7y = 3$

Перенесём 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-7y = 3 - 10$

$-7y = -7$

Найдём $y$, разделив обе части на -7:

$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем легко найти значение $x$. Для этого вернёмся к выражению, полученному на первом шаге ($x = 5 - 3y$), и подставим в него найденное значение $y=1$.

$x = 5 - 3 \cdot 1$

$x = 5 - 3$

$x = 2$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку (рекомендуется).

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 1)$. Чтобы убедиться в правильности решения, подставим эту пару в оба исходных уравнения:

Проверка для первого уравнения: $x + 3y = 5 \implies 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.

Проверка для второго уравнения: $2x - y = 3 \implies 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Равенство $3 = 3$ верное.

Оба равенства верны, значит, система решена правильно.

Ответ: $(2; 1)$.