Страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1124. Разложите на множители:

a) $0,064m^3 + 1;$

б) $0,027x^3 - y^3;$

в) $p^6 + 8;$

г) $27 - m^6.$

а) Для разложения на множители выражения $0,064m^3 + 1$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
$0,064m^3 = (0,4m)^3$
$1 = 1^3$
Таким образом, в нашем случае $a = 0,4m$ и $b = 1$.
Теперь подставим эти значения в формулу:
$0,064m^3 + 1 = (0,4m)^3 + 1^3 = (0,4m + 1)((0,4m)^2 - 0,4m \cdot 1 + 1^2) = (0,4m + 1)(0,16m^2 - 0,4m + 1)$.
Ответ: $(0,4m + 1)(0,16m^2 - 0,4m + 1)$.

б) Для разложения на множители выражения $0,027x^3 - y^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим первый член выражения в виде куба:
$0,027x^3 = (0,3x)^3$
Второй член уже является кубом: $y^3$.
Следовательно, $a = 0,3x$ и $b = y$.
Подставляем в формулу разности кубов:
$0,027x^3 - y^3 = (0,3x)^3 - y^3 = (0,3x - y)((0,3x)^2 + 0,3x \cdot y + y^2) = (0,3x - y)(0,09x^2 + 0,3xy + y^2)$.
Ответ: $(0,3x - y)(0,09x^2 + 0,3xy + y^2)$.

в) Выражение $p^6 + 8$ можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Для этого представим слагаемые в виде кубов:
$p^6 = (p^2)^3$
$8 = 2^3$
В данном случае $a = p^2$ и $b = 2$.
Применяем формулу:
$p^6 + 8 = (p^2)^3 + 2^3 = (p^2 + 2)((p^2)^2 - p^2 \cdot 2 + 2^2) = (p^2 + 2)(p^4 - 2p^2 + 4)$.
Ответ: $(p^2 + 2)(p^4 - 2p^2 + 4)$.

г) Выражение $27 - m^6$ можно разложить на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов:
$27 = 3^3$
$m^6 = (m^2)^3$
Таким образом, $a = 3$ и $b = m^2$.
Подставляем в формулу разности кубов:
$27 - m^6 = 3^3 - (m^2)^3 = (3 - m^2)(3^2 + 3 \cdot m^2 + (m^2)^2) = (3 - m^2)(9 + 3m^2 + m^4)$.
Ответ: $(3 - m^2)(9 + 3m^2 + m^4)$.

1126. В каких координатных четвертях расположен график уравнения:

а) $2x + 5y = 12$;

б) $3x - 4y = 10$?

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график линейного уравнения, нужно найти точки его пересечения с осями координат ($x$ и $y$). Это позволит понять, через какие области проходит прямая.

Координатные четверти определяются знаками координат:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

а) $2x + 5y = 12$

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Для этого в уравнении положим $x = 0$:

$2 \cdot 0 + 5y = 12$

$5y = 12$

$y = \frac{12}{5} = 2.4$

Точка пересечения с осью $y$ — $(0; 2.4)$. Так как $y > 0$, эта точка лежит на положительной части оси $y$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$). Для этого положим $y = 0$:

$2x + 5 \cdot 0 = 12$

$2x = 12$

$x = 6$

Точка пересечения с осью $x$ — $(6; 0)$. Так как $x > 0$, эта точка лежит на положительной части оси $x$.

3. Проанализируем расположение графика. Прямая проходит через точку $(6; 0)$ на положительной оси $x$ и точку $(0; 2.4)$ на положительной оси $y$.

Отрезок прямой, соединяющий эти две точки, находится в I четверти (где $x > 0$ и $y > 0$).

Продолжая прямую от точки $(0; 2.4)$ в сторону отрицательных значений $x$, мы попадаем во II четверть (где $x < 0$ и $y > 0$).

Продолжая прямую от точки $(6; 0)$ в сторону отрицательных значений $y$, мы попадаем в IV четверть (где $x > 0$ и $y < 0$).

График не может проходить через III четверть, так как если $x < 0$ и $y < 0$, то сумма $2x + 5y$ будет отрицательной, а не равной 12.

Ответ: График расположен в I, II и IV координатных четвертях.

б) $3x - 4y = 10$

1. Найдем точку пересечения графика с осью $y$, подставив $x = 0$:

$3 \cdot 0 - 4y = 10$

$-4y = 10$

$y = -\frac{10}{4} = -2.5$

Точка пересечения с осью $y$ — $(0; -2.5)$. Так как $y < 0$, эта точка лежит на отрицательной части оси $y$.

2. Найдем точку пересечения графика с осью $x$, подставив $y = 0$:

$3x - 4 \cdot 0 = 10$

$3x = 10$

$x = \frac{10}{3}$

Точка пересечения с осью $x$ — $(\frac{10}{3}; 0)$. Так как $x > 0$, эта точка лежит на положительной части оси $x$.

3. Проанализируем расположение графика. Прямая проходит через точку $(\frac{10}{3}; 0)$ на положительной оси $x$ и точку $(0; -2.5)$ на отрицательной оси $y$.

Отрезок прямой, соединяющий эти две точки, находится в IV четверти (где $x > 0$ и $y < 0$).

Продолжая прямую от точки $(\frac{10}{3}; 0)$ в сторону положительных значений $y$, мы попадаем в I четверть (где $x > 0$ и $y > 0$).

Продолжая прямую от точки $(0; -2.5)$ в сторону отрицательных значений $x$, мы попадаем в III четверть (где $x < 0$ и $y < 0$).

График не может проходить через II четверть, так как если $x < 0$ и $y > 0$, то выражение $3x$ будет отрицательным, а $-4y$ также будет отрицательным. Их сумма не может быть равной положительному числу 10.

Ответ: График расположен в I, III и IV координатных четвертях.

1123. (Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $x$ – это число, на которое надо уменьшить 100. Это искомая величина.
• Пусть $N$ – это полученная разность, то есть $N = 100 - x$.
• Пусть $q_1$ – это частное от деления числа $N$ на 5 (первое частное).
• Пусть $q_2$ – это частное от деления числа $N$ на 7 (второе частное).

Ответ: Удобно ввести переменную $x$ для искомой величины, $N$ для разности, $q_1$ и $q_2$ для частных.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

Исходя из условий задачи и введенных обозначений, можно составить систему уравнений:

1. При делении $N$ на 5 остаток равен 1: $N = 5 \cdot q_1 + 1$.

2. При делении $N$ на 7 остаток равен 1: $N = 7 \cdot q_2 + 1$.

3. Первое частное на 2 больше второго: $q_1 = q_2 + 2$.

Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} N = 5q_1 + 1 \\ N = 7q_2 + 1 \\ q_1 = q_2 + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части первых двух уравнений, так как их левые части равны:

$5q_1 + 1 = 7q_2 + 1$

$5q_1 = 7q_2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ из третьего уравнения системы:

$5(q_2 + 2) = 7q_2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q_2$:

$5q_2 + 10 = 7q_2$

$10 = 7q_2 - 5q_2$

$10 = 2q_2$

$q_2 = 5$

Теперь найдем $q_1$, используя третье уравнение:

$q_1 = q_2 + 2 = 5 + 2 = 7$

Зная $q_1$ или $q_2$, найдем число $N$. Например, из первого уравнения:

$N = 5q_1 + 1 = 5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$

Мы нашли полученную разность $N = 36$. Теперь найдем искомую величину $x$, на которую уменьшили число 100:

$N = 100 - x$

$x = 100 - N = 100 - 36 = 64$

Ответ: Число 100 надо уменьшить на 64.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

Проверим, выполняются ли все условия задачи, если уменьшить число 100 на 64.

1. Найдем полученную разность: $100 - 64 = 36$.

2. Разделим 36 на 5: $36 \div 5 = 7$ (остаток 1). Первое частное $q_1 = 7$, остаток равен 1. Условие выполнено.

3. Разделим 36 на 7: $36 \div 7 = 5$ (остаток 1). Второе частное $q_2 = 5$, остаток равен 1. Условие выполнено.

4. Сравним частные: $q_1 = 7$ и $q_2 = 5$. Первое частное больше второго на $7 - 5 = 2$. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что число 100 надо уменьшить на 64.

1125. Докажите тождество

$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы привести их к одному и тому же виду.

Преобразование левой части тождества:

Рассмотрим выражение в левой части: $(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3$.

Для начала раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3 - y^3)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y^3 + (y^3)^2 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6$.

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение левой части:

$(x^6 - 2x^3y^3 + y^6) + 2x^3y^3$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $-2x^3y^3$ и $+2x^3y^3$ взаимно уничтожаются:

$x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3 = x^6 + y^6$.

Таким образом, левая часть тождества равна $x^6 + y^6$.

Преобразование правой части тождества:

Рассмотрим выражение в правой части: $(x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$.

Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия стандартной формуле: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

Данное выражение представляет собой формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Применяя эту формулу, получаем:

$(x^2)^3 + (y^2)^3 = x^6 + y^6$.

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^6 + y^6$.

Заключение:

Мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $x^6 + y^6$.

Так как $x^6 + y^6 = x^6 + y^6$, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

1127. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой $y = -x^2 - 6x - 11$, расположены в нижней полуплоскости.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = -x^2 - 6x - 11$ расположены в нижней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения аргумента $x$ значение функции $y$ является отрицательным, то есть $y < 0$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы. Если мы докажем, что это наибольшее значение отрицательно, то и все остальные значения функции будут отрицательными.

Найдем наибольшее значение функции, преобразовав ее выражение методом выделения полного квадрата.

Исходная функция:

$y = -x^2 - 6x - 11$

Вынесем -1 за скобки у первых двух слагаемых:

$y = -(x^2 + 6x) - 11$

Для получения полного квадрата в скобках, добавим и вычтем $(6/2)^2 = 3^2 = 9$ внутри скобок:

$y = -(x^2 + 6x + 9 - 9) - 11$

Сгруппируем первые три слагаемых в скобках, чтобы получить полный квадрат:

$y = -((x + 3)^2 - 9) - 11$

Теперь раскроем внешние скобки:

$y = -(x + 3)^2 + 9 - 11$

Итоговое выражение:

$y = -(x + 3)^2 - 2$

Проанализируем полученное выражение $y = -(x + 3)^2 - 2$.

1. Выражение $(x + 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x + 3)^2 \ge 0$.

2. Соответственно, выражение $-(x + 3)^2$, взятое с противоположным знаком, всегда неположительно: $-(x + 3)^2 \le 0$.

3. Наибольшее значение выражения $-(x + 3)^2$ равно 0 (оно достигается при $x = -3$).

4. Следовательно, наибольшее значение всей функции $y$ равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, максимальное значение функции $y_{max} = -2$. Поскольку максимальное значение функции отрицательно, то для любого действительного $x$ значение $y$ будет меньше или равно -2 ($y \le -2$), а значит, всегда будет отрицательным ($y < 0$).

Так как ордината ($y$) любой точки графика функции является отрицательным числом, все точки графика расположены ниже оси абсцисс ($y=0$), то есть в нижней полуплоскости.

Ответ: Доказано. Функция была преобразована к виду $y = -(x+3)^2 - 2$. Из этого вида следует, что наибольшее значение функции равно -2. Так как максимальное значение функции отрицательно, все точки ее графика имеют отрицательную ординату и, следовательно, расположены в нижней полуплоскости.

1 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Метод подстановки для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это алгоритм, который позволяет последовательно найти решение. Суть метода заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения через другую и подставить это выражение во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x + 3y = 5, \\2x - y = 3.\end{cases}$$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую.

Нужно выбрать одно из уравнений и выразить из него одну из переменных. Удобнее всего выбирать ту переменную, коэффициент при которой равен 1 или -1. В нашем случае в первом уравнении коэффициент при $x$ равен 1, а во втором коэффициент при $y$ равен -1. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 5 - 3y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь мы подставляем выражение $5 - 3y$ вместо переменной $x$ во второе уравнение системы ($2x - y = 3$). Важно подставлять именно в то уравнение, которое мы не использовали на первом шаге.

$2(5 - 3y) - y = 3$

Шаг 3: Решить получившееся уравнение с одной переменной.

Мы получили линейное уравнение, в котором есть только одна переменная — $y$. Решим его:

Раскроем скобки:

$10 - 6y - y = 3$

Приведём подобные слагаемые:

$10 - 7y = 3$

Перенесём 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-7y = 3 - 10$

$-7y = -7$

Найдём $y$, разделив обе части на -7:

$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем легко найти значение $x$. Для этого вернёмся к выражению, полученному на первом шаге ($x = 5 - 3y$), и подставим в него найденное значение $y=1$.

$x = 5 - 3 \cdot 1$

$x = 5 - 3$

$x = 2$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку (рекомендуется).

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 1)$. Чтобы убедиться в правильности решения, подставим эту пару в оба исходных уравнения:

Проверка для первого уравнения: $x + 3y = 5 \implies 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.

Проверка для второго уравнения: $2x - y = 3 \implies 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Равенство $3 = 3$ верное.

Оба равенства верны, значит, система решена правильно.

Ответ: $(2; 1)$.

2 Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы алгебраически сложить уравнения системы для получения нового линейного уравнения с одной переменной. Чтобы это стало возможным, необходимо предварительно преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5$ и $-5$).

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Пример:

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 5x - 3y = 4 \end{cases}$

Шаг 1: Подготовка уравнений к сложению.

Наша задача — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, при $y$) стали противоположными числами. В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $2$, а во втором — $-3$. Наименьшее общее кратное для чисел $2$ и $3$ — это $6$. Чтобы получить коэффициенты $6$ и $-6$, умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$.

Умножаем первое уравнение на $3$:

$3 \cdot (3x + 2y) = 3 \cdot 10 \implies 9x + 6y = 30$

Умножаем второе уравнение на $2$:

$2 \cdot (5x - 3y) = 2 \cdot 4 \implies 10x - 6y = 8$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 9x + 6y = 30 \\ 10x - 6y = 8 \end{cases}$

Шаг 2: Почленное сложение уравнений.

Сложим левые и правые части полученных уравнений:

$(9x + 6y) + (10x - 6y) = 30 + 8$

Приводим подобные слагаемые. Переменные $6y$ и $-6y$ взаимно уничтожаются:

$19x = 38$

Шаг 3: Решение полученного уравнения с одной переменной.

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{38}{19}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной.

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений системы. Например, в первое: $3x + 2y = 10$.

$3(2) + 2y = 10$

$6 + 2y = 10$

$2y = 10 - 6$

$2y = 4$

$y = 2$

Шаг 5: Запись ответа.

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 2)$. Для уверенности можно сделать проверку, подставив значения во второе исходное уравнение: $5(2) - 3(2) = 10 - 6 = 4$. Равенство $4=4$ верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: решением системы является пара чисел $(2; 2)$.