Номер 1125, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1125, страница 223.

Условие.

1125. Докажите тождество

$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы привести их к одному и тому же виду.

Преобразование левой части тождества:

Рассмотрим выражение в левой части: $(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3$.

Для начала раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3 - y^3)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y^3 + (y^3)^2 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6$.

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение левой части:

$(x^6 - 2x^3y^3 + y^6) + 2x^3y^3$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $-2x^3y^3$ и $+2x^3y^3$ взаимно уничтожаются:

$x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3 = x^6 + y^6$.

Таким образом, левая часть тождества равна $x^6 + y^6$.

Преобразование правой части тождества:

Рассмотрим выражение в правой части: $(x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$.

Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия стандартной формуле: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

Данное выражение представляет собой формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Применяя эту формулу, получаем:

$(x^2)^3 + (y^2)^3 = x^6 + y^6$.

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^6 + y^6$.

Заключение:

Мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $x^6 + y^6$.

Так как $x^6 + y^6 = x^6 + y^6$, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.