Номер 1127, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1127, страница 223.

Условие.

1127. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой $y = -x^2 - 6x - 11$, расположены в нижней полуплоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что все точки графика функции $y = -x^2 - 6x - 11$ расположены в нижней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения аргумента $x$ значение функции $y$ является отрицательным, то есть $y < 0$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы. Если мы докажем, что это наибольшее значение отрицательно, то и все остальные значения функции будут отрицательными.

Найдем наибольшее значение функции, преобразовав ее выражение методом выделения полного квадрата.

Исходная функция:

$y = -x^2 - 6x - 11$

Вынесем -1 за скобки у первых двух слагаемых:

$y = -(x^2 + 6x) - 11$

Для получения полного квадрата в скобках, добавим и вычтем $(6/2)^2 = 3^2 = 9$ внутри скобок:

$y = -(x^2 + 6x + 9 - 9) - 11$

Сгруппируем первые три слагаемых в скобках, чтобы получить полный квадрат:

$y = -((x + 3)^2 - 9) - 11$

Теперь раскроем внешние скобки:

$y = -(x + 3)^2 + 9 - 11$

Итоговое выражение:

$y = -(x + 3)^2 - 2$

Проанализируем полученное выражение $y = -(x + 3)^2 - 2$.

1. Выражение $(x + 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x + 3)^2 \ge 0$.

2. Соответственно, выражение $-(x + 3)^2$, взятое с противоположным знаком, всегда неположительно: $-(x + 3)^2 \le 0$.

3. Наибольшее значение выражения $-(x + 3)^2$ равно 0 (оно достигается при $x = -3$).

4. Следовательно, наибольшее значение всей функции $y$ равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, максимальное значение функции $y_{max} = -2$. Поскольку максимальное значение функции отрицательно, то для любого действительного $x$ значение $y$ будет меньше или равно -2 ($y \le -2$), а значит, всегда будет отрицательным ($y < 0$).

Так как ордината ($y$) любой точки графика функции является отрицательным числом, все точки графика расположены ниже оси абсцисс ($y=0$), то есть в нижней полуплоскости.

Ответ: Доказано. Функция была преобразована к виду $y = -(x+3)^2 - 2$. Из этого вида следует, что наибольшее значение функции равно -2. Так как максимальное значение функции отрицательно, все точки ее графика имеют отрицательную ординату и, следовательно, расположены в нижней полуплоскости.