Номер 1129, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1129, страница 225.

Условие.

1129. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:

а) $y \ge x$;

б) $y \le -x$;

в) $x \ge 1$;

г) $y \le 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы показать штриховкой множество точек, которое задает неравенство, нужно выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (линия) разделяет координатную плоскость на две полуплоскости.
2. Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), то линия рисуется сплошной, так как точки на ней являются частью решения. Если неравенство строгое (> или <), линия рисуется пунктирной. Во всех представленных задачах неравенства нестрогие.
3. Выбрать любую "пробную" точку, не лежащую на построенной линии, например, начало координат (0,0), если оно не лежит на линии.
4. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство.
5. Если получилось верное числовое неравенство, то искомым множеством является та полуплоскость, в которой лежит пробная точка. Эту область нужно заштриховать. Если неравенство неверное, то нужно заштриховать противоположную полуплоскость.

а) $y \ge x$

1. Сначала построим граничную прямую, заданную уравнением $y = x$. Это прямая, которая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,1) и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), то сама прямая $y=x$ включается в решение, и мы рисуем ее сплошной линией.
3. Прямая $y=x$ делит плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какую из них заштриховать, выберем пробную точку, не лежащую на этой прямой. Например, точку с координатами (0, 1).
4. Подставим координаты этой точки в исходное неравенство: $1 \ge 0$. Это верное утверждение.
5. Поскольку для точки (0, 1) неравенство выполняется, то и для всех точек, лежащих в той же полуплоскости (выше прямой $y=x$), оно будет выполняться. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y=x$ и в полуплоскости выше этой прямой.

б) $y \le -x$

1. Строим граничную прямую $y = -x$. Эта прямая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,-1) и является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.
2. Неравенство нестрогое ($ \le $), поэтому прямую $y=-x$ рисуем сплошной линией.
3. Выберем пробную точку, например, (-1, -1).
4. Подставим ее координаты в неравенство: $-1 \le -(-1)$, что равносильно $-1 \le 1$. Это верное утверждение.
5. Точка (-1, -1) лежит ниже прямой $y=-x$. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y=-x$ и в полуплоскости ниже этой прямой.

в) $x \ge 1$

1. Строим граничную прямую $x = 1$. Это вертикальная прямая, которая параллельна оси OY и проходит через точку (1, 0) на оси OX.
2. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому прямую $x=1$ рисуем сплошной линией.
3. Неравенство $x \ge 1$ означает, что абсциссы (координаты $x$) всех точек искомого множества должны быть больше или равны 1. Такие точки расположены справа от прямой $x=1$.
4. Для проверки можно взять пробную точку (2, 0). Подставляем в неравенство: $2 \ge 1$. Это верно. Точка (2, 0) находится в правой полуплоскости.

Ответ: Правая полуплоскость, ограниченная прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) $y \le 5$

1. Строим граничную прямую $y = 5$. Это горизонтальная прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0, 5) на оси OY.
2. Неравенство нестрогое ($ \le $), поэтому прямую $y=5$ рисуем сплошной линией.
3. Неравенство $y \le 5$ означает, что ординаты (координаты $y$) всех точек искомого множества должны быть меньше или равны 5. Такие точки расположены ниже прямой $y=5$.
4. Для проверки можно взять пробную точку (0, 0). Подставляем в неравенство: $0 \le 5$. Это верно. Точка (0, 0) находится в нижней полуплоскости.

Ответ: Нижняя полуплоскость, ограниченная прямой $y=5$, включая саму прямую.