Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1128. Постройте прямую $y = \frac{1}{3}x$. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $y > \frac{1}{3}x$;

б) $y < \frac{1}{3}x$.

Для решения задачи сначала построим граничную прямую $y = \frac{1}{3}x$. Это уравнение прямой пропорциональности, её график проходит через начало координат.

Чтобы построить прямую, достаточно двух точек:

1. Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Первая точка — $(0, 0)$.
2. Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Вторая точка — $(3, 1)$.

Проводим прямую через эти две точки. Так как неравенства в задании строгие ($>$ и <), сама прямая не является частью решения, и её следует изображать штриховой линией. Эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости.

Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{3}x$. Это множество точек, которые лежат выше прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Чтобы убедиться в этом, выберем любую контрольную точку, не лежащую на прямой. Например, точку $(0, 1)$, которая находится выше прямой. Подставим её координаты в неравенство:

$1 > \frac{1}{3} \cdot 0$

$1 > 0$

Неравенство верное, значит, все точки в той же полуплоскости, что и $(0, 1)$, удовлетворяют данному неравенству. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y > \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше штриховой прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x$. Это множество точек, которые лежат ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Для проверки выберем контрольную точку из нижней полуплоскости, например, $(3, 0)$. Подставим её координаты в неравенство:

$0 < \frac{1}{3} \cdot 3$

$0 < 1$

Неравенство верное. Следовательно, все точки в полуплоскости ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$ являются решениями. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y < \frac{1}{3}x$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже штриховой прямой $y = \frac{1}{3}x$.

1130. Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) $y \ge x + 1$;

б) $y < -0,2x + 3$.

а) $y \ge x + 1$

Чтобы изобразить множество точек, которое задает данное неравенство, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала построим граничную линию, которая соответствует равенству $y = x + 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
- Пусть $x = 0$, тогда $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
- Пусть $x = -1$, тогда $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку с координатами $(-1, 0)$.
Проведем через эти две точки прямую линию на координатной плоскости.

2. Определим тип линии. Поскольку в неравенстве используется знак «больше или равно» ($ \ge $), точки, лежащие на самой прямой $y = x + 1$, являются частью решения. Поэтому граничную прямую следует рисовать сплошной (непрерывной) линией.

3. Теперь нужно определить, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, является решением неравенства. Для этого выберем любую контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 \ge 0 + 1$
$0 \ge 1$
Это неравенство является ложным. Следовательно, полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (область ниже прямой), не является решением. Решением будет противоположная полуплоскость.

4. Заштриховываем область, расположенную выше прямой $y = x + 1$.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $y \ge x + 1$, — это полуплоскость, расположенная над прямой $y = x + 1$, включая саму эту прямую.

б) $y < -0,2x + 3$

Решение этого неравенства выполняется аналогично предыдущему.

1. Строим граничную линию, заданную уравнением $y = -0,2x + 3$. Это также прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения.
- Пусть $x = 0$, тогда $y = -0,2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку с координатами $(0, 3)$.
- Пусть $x = 5$, тогда $y = -0,2 \cdot 5 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку с координатами $(5, 2)$.
Проведем через эти две точки прямую линию.

2. Определим тип линии. В неравенстве используется строгий знак «меньше» ($ < $), поэтому точки на самой прямой $y = -0,2x + 3$ не входят в множество решений. Граничную прямую следует рисовать пунктирной (штриховой) линией.

3. Выберем контрольную точку для определения нужной полуплоскости. Снова используем начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство:
$0 < -0,2 \cdot 0 + 3$
$0 < 3$
Это неравенство является истинным. Следовательно, полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$ (область ниже прямой), является решением.

4. Заштриховываем область, расположенную ниже прямой $y = -0,2x + 3$.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $y < -0,2x + 3$, — это полуплоскость, расположенная под прямой $y = -0,2x + 3$. Сама прямая в решение не входит.

1132. Является ли пара чисел $x = -3$, $y = 4$ решением системы неравенств:

a) $\begin{cases} 3x - y < 0, \\ x + y > 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y < 5, \\ x - 2y > -15? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $x = -3$, $y = 4$ решением системы неравенств, необходимо подставить эти значения в каждое неравенство системы и проверить, выполняются ли они.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 3x - y < 0, \\ x + y > 1; \end{cases} $$

Подставим $x = -3$ и $y = 4$ в первое неравенство:

$3(-3) - 4 < 0$

$-9 - 4 < 0$

$-13 < 0$

Это неравенство верно.

Теперь подставим $x = -3$ и $y = 4$ во второе неравенство:

$-3 + 4 > 1$

$1 > 1$

Это неравенство неверно, так как $1$ равно $1$, а не больше $1$.

Поскольку для того, чтобы пара чисел была решением системы, она должна удовлетворять каждому неравенству системы, а второе неравенство не выполняется, данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: нет.

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x + y < 5, \\ x - 2y > -15; \end{cases} $$

Подставим $x = -3$ и $y = 4$ в первое неравенство:

$-3 + 4 < 5$

$1 < 5$

Это неравенство верно.

Теперь подставим $x = -3$ и $y = 4$ во второе неравенство:

$-3 - 2(4) > -15$

$-3 - 8 > -15$

$-11 > -15$

Это неравенство также верно.

Поскольку оба неравенства системы выполняются при подстановке данных значений $x$ и $y$, пара чисел является решением системы.

Ответ: да.

1129. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:

а) $y \ge x$;

б) $y \le -x$;

в) $x \ge 1$;

г) $y \le 5$.

Чтобы показать штриховкой множество точек, которое задает неравенство, нужно выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (линия) разделяет координатную плоскость на две полуплоскости.
2. Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), то линия рисуется сплошной, так как точки на ней являются частью решения. Если неравенство строгое (> или <), линия рисуется пунктирной. Во всех представленных задачах неравенства нестрогие.
3. Выбрать любую "пробную" точку, не лежащую на построенной линии, например, начало координат (0,0), если оно не лежит на линии.
4. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство.
5. Если получилось верное числовое неравенство, то искомым множеством является та полуплоскость, в которой лежит пробная точка. Эту область нужно заштриховать. Если неравенство неверное, то нужно заштриховать противоположную полуплоскость.

а) $y \ge x$

1. Сначала построим граничную прямую, заданную уравнением $y = x$. Это прямая, которая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,1) и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.
2. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), то сама прямая $y=x$ включается в решение, и мы рисуем ее сплошной линией.
3. Прямая $y=x$ делит плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какую из них заштриховать, выберем пробную точку, не лежащую на этой прямой. Например, точку с координатами (0, 1).
4. Подставим координаты этой точки в исходное неравенство: $1 \ge 0$. Это верное утверждение.
5. Поскольку для точки (0, 1) неравенство выполняется, то и для всех точек, лежащих в той же полуплоскости (выше прямой $y=x$), оно будет выполняться. Заштриховываем эту область.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y=x$ и в полуплоскости выше этой прямой.

б) $y \le -x$

1. Строим граничную прямую $y = -x$. Эта прямая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,-1) и является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.
2. Неравенство нестрогое ($ \le $), поэтому прямую $y=-x$ рисуем сплошной линией.
3. Выберем пробную точку, например, (-1, -1).
4. Подставим ее координаты в неравенство: $-1 \le -(-1)$, что равносильно $-1 \le 1$. Это верное утверждение.
5. Точка (-1, -1) лежит ниже прямой $y=-x$. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y=-x$ и в полуплоскости ниже этой прямой.

в) $x \ge 1$

1. Строим граничную прямую $x = 1$. Это вертикальная прямая, которая параллельна оси OY и проходит через точку (1, 0) на оси OX.
2. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому прямую $x=1$ рисуем сплошной линией.
3. Неравенство $x \ge 1$ означает, что абсциссы (координаты $x$) всех точек искомого множества должны быть больше или равны 1. Такие точки расположены справа от прямой $x=1$.
4. Для проверки можно взять пробную точку (2, 0). Подставляем в неравенство: $2 \ge 1$. Это верно. Точка (2, 0) находится в правой полуплоскости.

Ответ: Правая полуплоскость, ограниченная прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) $y \le 5$

1. Строим граничную прямую $y = 5$. Это горизонтальная прямая, которая параллельна оси OX и проходит через точку (0, 5) на оси OY.
2. Неравенство нестрогое ($ \le $), поэтому прямую $y=5$ рисуем сплошной линией.
3. Неравенство $y \le 5$ означает, что ординаты (координаты $y$) всех точек искомого множества должны быть меньше или равны 5. Такие точки расположены ниже прямой $y=5$.
4. Для проверки можно взять пробную точку (0, 0). Подставляем в неравенство: $0 \le 5$. Это верно. Точка (0, 0) находится в нижней полуплоскости.

Ответ: Нижняя полуплоскость, ограниченная прямой $y=5$, включая саму прямую.

1131. Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой:

а) $y = x - 1.3$;

б) $x + y = 5$.

а) Уравнение прямой задано в виде $y = x - 1,3$.

Полуплоскость, расположенная "выше" прямой, — это множество всех точек $(x, y)$, для которых ордината $y$ при фиксированной абсциссе $x$ больше, чем ордината соответствующей точки на прямой. Ордината точек на прямой равна $x - 1,3$. Следовательно, для всех точек искомой полуплоскости должно выполняться строгое неравенство:

$y > x - 1,3$

Для проверки можно взять любую точку, не лежащую на прямой. Например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в полученное неравенство: $0 > 0 - 1,3$, что равносильно $0 > -1,3$. Это верное неравенство. Так как точка $(0, 0)$ действительно расположена выше прямой $y = x - 1,3$ (прямая пересекает ось ординат в точке $(0; -1,3)$), то неравенство определено верно.

Ответ: $y > x - 1,3$.

б) Уравнение прямой задано в виде $x + y = 5$.

Чтобы определить полуплоскость, расположенную "выше" прямой, удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$. Перенесем $x$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$y = 5 - x$

Теперь задача аналогична предыдущему пункту. Точки, расположенные "выше" прямой, — это точки, ординаты которых больше, чем ординаты точек на прямой. Таким образом, искомое неравенство имеет вид:

$y > 5 - x$

Это неравенство можно записать и в другом виде, перенеся $x$ обратно в левую часть:

$x + y > 5$

Проверим с помощью контрольной точки, например, начала координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство $x + y > 5$: $0 + 0 > 5$, что дает $0 > 5$. Это неверное неравенство. Следовательно, точка $(0, 0)$ не принадлежит искомой полуплоскости (она лежит ниже прямой). Это правильный результат, так как прямая $y = 5-x$ пересекает оси в точках $(5, 0)$ и $(0, 5)$, а начало координат находится под этой прямой. Значит, знак неравенства выбран верно.

Ответ: $y > 5 - x$ (или $x + y > 5$).