Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1178. Велосипедист ехал от пункта $A$ до пункта $B$ со скоростью $10 \text{ км/ч}$, а от пункта $B$ до пункта $C$ со скоростью $15 \text{ км/ч}$. На весь путь он затратил $5 \text{ ч}$. Тот же путь за то же время он мог бы проехать со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Сколько часов затратил велосипедист на путь от $A$ до $B$ и сколько на путь от $B$ до $C$?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_{AB}$ — это время (в часах), которое велосипедист затратил на путь из пункта A в пункт B, а $t_{BC}$ — время (в часах) на путь из пункта B в пункт C.

Согласно условию, общее время в пути составляет 5 часов. Это дает нам первое уравнение:
$t_{AB} + t_{BC} = 5$

Также в условии сказано, что весь путь за то же время (5 часов) велосипедист мог бы проехать со средней скоростью 12 км/ч. Это позволяет нам найти общее расстояние $S_{AC}$:
$S_{AC} = 12 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Общее расстояние $S_{AC}$ складывается из расстояний на двух участках: $S_{AB}$ и $S_{BC}$. Выразим эти расстояния через время и скорость, заданную в условии:
Расстояние от A до B: $S_{AB} = v_{AB} \cdot t_{AB} = 10 \cdot t_{AB}$
Расстояние от B до C: $S_{BC} = v_{BC} \cdot t_{BC} = 15 \cdot t_{BC}$

Сумма этих расстояний равна общему расстоянию 60 км, что дает нам второе уравнение:
$10 \cdot t_{AB} + 15 \cdot t_{BC} = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} t_{AB} + t_{BC} = 5 \\ 10 \cdot t_{AB} + 15 \cdot t_{BC} = 60 \end{cases}$

Для решения системы выразим $t_{AB}$ из первого уравнения:
$t_{AB} = 5 - t_{BC}$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $t_{BC}$:
$10 \cdot (5 - t_{BC}) + 15 \cdot t_{BC} = 60$
$50 - 10 \cdot t_{BC} + 15 \cdot t_{BC} = 60$
$5 \cdot t_{BC} = 60 - 50$
$5 \cdot t_{BC} = 10$
$t_{BC} = \frac{10}{5} = 2$ часа.

Теперь, зная $t_{BC}$, найдем $t_{AB}$:
$t_{AB} = 5 - t_{BC} = 5 - 2 = 3$ часа.

Сколько часов затратил велосипедист на путь от A до B

Время, которое велосипедист затратил на путь от пункта A до пункта B, составляет 3 часа.

Ответ: 3 часа.

Сколько часов затратил велосипедист на путь от B до C

Время, которое велосипедист затратил на путь от пункта B до пункта C, составляет 2 часа.

Ответ: 2 часа.

1180. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на $3 \text{ см}$, то его площадь увеличится на $90 \text{ см}^2$. Если же длину прямоугольника увеличить на $5 \text{ см}$, а ширину уменьшить на $2 \text{ см}$, то его площадь увеличится на $20 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см, а его ширина — $y$ см. Тогда площадь прямоугольника составляет $S = xy$ см².

Из первого условия задачи, если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, его площадь увеличится на 90 см². Это можно записать в виде уравнения:

$(x + 3)(y + 3) = S + 90$

$(x + 3)(y + 3) = xy + 90$

Раскроем скобки в левой части:

$xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90$

Упростим уравнение, вычтя $xy$ из обеих частей и перенеся 9 в правую часть:

$3x + 3y = 81$

Разделив обе части на 3, получим первое уравнение системы:

$x + y = 27$

Из второго условия, если длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, его площадь увеличится на 20 см². Составим второе уравнение:

$(x + 5)(y - 2) = S + 20$

$(x + 5)(y - 2) = xy + 20$

Раскроем скобки:

$xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20$

Упростим уравнение, вычтя $xy$ из обеих частей и перенеся -10 в правую часть:

$-2x + 5y = 30$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 27 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = 27 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-2(27 - y) + 5y = 30$

$-54 + 2y + 5y = 30$

$7y = 30 + 54$

$7y = 84$

$y = \frac{84}{7} = 12$

Мы нашли ширину прямоугольника: $y = 12$ см. Теперь найдем длину, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 27 - 12 = 15$

Длина прямоугольника равна $x = 15$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

1182. В магазине находилось два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Масса всех трёх мешков составляла 160 кг. После того как из каждого мешка с рисом продали 20% риса, а из мешка с пшеном — 25% пшена, масса крупы в мешках составила 125 кг. Сколько килограммов риса и пшена было в каждом мешке первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная масса риса в одном мешке (в кг), а $y$ — первоначальная масса пшена в мешке (в кг).

Согласно условию, в магазине было два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Общая масса всех трех мешков составляла 160 кг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$2x + y = 160$

Далее, из каждого мешка с рисом продали 20% крупы, а из мешка с пшеном — 25%. Общая масса крупы в мешках после продажи стала 125 кг. Следовательно, общая масса проданной крупы равна разнице между начальной и конечной общей массой:

$160 \text{ кг} - 125 \text{ кг} = 35 \text{ кг}$

Масса проданного риса из одного мешка составляет $0.20x$ кг, значит из двух мешков продали $2 \cdot 0.20x = 0.4x$ кг. Масса проданного пшена составляет $25\%$ от его первоначальной массы, то есть $0.25y$ кг. Сумма масс проданных круп равна 35 кг. Составим второе уравнение:

$0.4x + 0.25y = 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 2x + y = 160 \\ 0.4x + 0.25y = 35 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 160 - 2x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.4x + 0.25(160 - 2x) = 35$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.4x + 40 - 0.5x = 35$

$-0.1x = 35 - 40$

$-0.1x = -5$

$x = \frac{-5}{-0.1}$

$x = 50$

Таким образом, первоначальная масса риса в каждом мешке была 50 кг.

Теперь найдем первоначальную массу пшена, подставив значение $x = 50$ в выражение для $y$:

$y = 160 - 2 \cdot 50 = 160 - 100 = 60$

Таким образом, первоначальная масса пшена в мешке была 60 кг.

Ответ: первоначально в каждом мешке с рисом было по 50 кг, а в мешке с пшеном — 60 кг.

1183. За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго — на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальная производительность первого станка (количество деталей в день), а $y$ — первоначальная производительность второго станка (количество деталей в день).

Исходя из условия, что за 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей, мы можем составить первое уравнение:
$8x + 5y = 235$

Далее, производительность первого станка возросла на 15%. Новая производительность первого станка составляет $x + 0.15x = 1.15x$ деталей в день. Производительность второго станка возросла на 20%, его новая производительность составляет $y + 0.20y = 1.2y$ деталей в день.

По новым условиям, за 2 дня работы на усовершенствованном первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Составим второе уравнение:
$2 \cdot (1.15x) + 3 \cdot (1.2y) = 100$
$2.3x + 3.6y = 100$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 2.3x + 3.6y = 100 \end{cases}$

Для удобства решения умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$10 \cdot (2.3x + 3.6y) = 10 \cdot 100$
$23x + 36y = 1000$

Теперь решаем систему:
$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 23x + 36y = 1000 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:
$5y = 235 - 8x$
$y = \frac{235 - 8x}{5}$
$y = 47 - 1.6x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение ($23x + 36y = 1000$):
$23x + 36(47 - 1.6x) = 1000$
$23x + 1692 - 57.6x = 1000$
$1692 - 1000 = 57.6x - 23x$
$692 = 34.6x$
$x = \frac{692}{34.6}$
$x = \frac{6920}{346}$
$x = 20$

Итак, первоначальная производительность первого станка составляла 20 деталей в день.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=20$ в выражение для $y$:
$y = 47 - 1.6 \cdot 20 = 47 - 32 = 15$

Таким образом, первоначальная производительность второго станка составляла 15 деталей в день.

Проведем проверку найденных значений.
Первое условие: $8 \cdot 20 + 5 \cdot 15 = 160 + 75 = 235$. Верно.
Второе условие: $2 \cdot (1.15 \cdot 20) + 3 \cdot (1.2 \cdot 15) = 2 \cdot 23 + 3 \cdot 18 = 46 + 54 = 100$. Верно.

Ответ: Раньше первый станок изготовлял 20 деталей в день, а второй — 15 деталей в день.

1179. В первый день засеяли $\frac{1}{4}$ первого поля и $\frac{1}{3}$ второго, что составило 340 га. Во второй засеяли $\frac{1}{3}$ оставшейся части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Найдите площадь каждого поля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ га — площадь первого поля, а $y$ га — площадь второго поля.

Согласно условию, в первый день засеяли $\frac{1}{4}$ первого поля и $\frac{1}{3}$ второго, что в сумме составило 340 га. На основании этого составим первое уравнение: $$ \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 $$

После первого дня на первом поле осталась незасеянной часть, равная $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$ га. На втором поле осталась незасеянной часть, равная $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$ га.

Во второй день засеяли $\frac{1}{3}$ от оставшейся части первого поля, что составляет $\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}x$ га.

По условию, эта площадь ($\frac{1}{4}x$) на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Половина оставшейся части второго поля равна $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}y) = \frac{1}{3}y$ га. На основании этого составим второе уравнение: $$ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 \\ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $\frac{1}{4}x$ из второго уравнения в первое: $$ (\frac{1}{3}y - 60) + \frac{1}{3}y = 340 $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$: $$ \frac{2}{3}y - 60 = 340 $$ $$ \frac{2}{3}y = 340 + 60 $$ $$ \frac{2}{3}y = 400 $$ $$ y = 400 \cdot \frac{3}{2} $$ $$ y = 600 $$ Таким образом, площадь второго поля составляет 600 га.

Подставим найденное значение $y = 600$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$: $$ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}(600) - 60 $$ $$ \frac{1}{4}x = 200 - 60 $$ $$ \frac{1}{4}x = 140 $$ $$ x = 140 \cdot 4 $$ $$ x = 560 $$ Таким образом, площадь первого поля составляет 560 га.

Ответ: площадь первого поля — 560 га, площадь второго поля — 600 га.

1181. Написали два числа. Если первое число увеличить на $30\%$, а второе уменьшить на $10\%$, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на $10\%$, а второе — на $20\%$, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. Тогда их первоначальная сумма равна $x+y$.

Из первого условия задачи следует, что если первое число увеличить на 30%, оно станет равным $x + 0.3x = 1.3x$, а если второе число уменьшить на 10%, оно станет равным $y - 0.1y = 0.9y$. Их новая сумма $1.3x+0.9y$ будет на 6 больше первоначальной. Это можно записать в виде уравнения: $1.3x + 0.9y = (x+y) + 6$. Упростив его, получаем первое уравнение системы: $0.3x - 0.1y = 6$.

Из второго условия, если первое число уменьшить на 10%, оно станет равным $x - 0.1x = 0.9x$, а если второе число уменьшить на 20%, оно станет равным $y - 0.2y = 0.8y$. Их новая сумма $0.9x + 0.8y$ будет на 16 меньше первоначальной. Уравнение будет таким: $0.9x + 0.8y = (x+y) - 16$. Упростив, получаем второе уравнение системы: $-0.1x - 0.2y = -16$.

Таким образом, мы имеем систему двух линейных уравнений:
1) $0.3x - 0.1y = 6$
2) $-0.1x - 0.2y = -16$

Умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
1) $3x - y = 60$
2) $-x - 2y = -160$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3x - 60$. Подставим это выражение во второе уравнение: $-x - 2(3x - 60) = -160$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$-x - 6x + 120 = -160$
$-7x = -160 - 120$
$-7x = -280$
$x = \frac{-280}{-7}$
$x = 40$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 40$ в выражение $y = 3x - 60$:
$y = 3 \cdot 40 - 60 = 120 - 60 = 60$.

Следовательно, искомые числа — это 40 и 60.

Проведем проверку. Исходная сумма: $40+60=100$.
1. Увеличение первого числа на 30% и уменьшение второго на 10% дает новую сумму: $40 \cdot 1.3 + 60 \cdot 0.9 = 52 + 54 = 106$. Сумма увеличилась на $106-100=6$. Условие выполняется.
2. Уменьшение первого числа на 10% и второго на 20% дает новую сумму: $40 \cdot 0.9 + 60 \cdot 0.8 = 36 + 48 = 84$. Сумма уменьшилась на $100-84=16$. Условие выполняется.

Ответ: 40 и 60.