Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1184. Найдите все натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $(a - 1)x = 12$ является натуральным числом.

Дано уравнение $(a-1)x = 12$. По условию задачи, и параметр $a$, и корень уравнения $x$ должны быть натуральными числами.

Натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$ и $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на множитель $(a-1)$. Данная операция возможна только в том случае, если $(a-1) \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда $a-1=0$, то есть $a=1$. Поскольку $1$ является натуральным числом, это значение параметра $a$ необходимо проверить. Подставим $a=1$ в исходное уравнение: $(1-1)x = 12$ $0 \cdot x = 12$ Данное равенство не может быть выполнено ни при каком значении $x$, так как любое число при умножении на ноль дает ноль, а не 12. Следовательно, у уравнения нет корней при $a=1$, и это значение нам не подходит.

Поскольку $a$ — натуральное число и $a \ne 1$, то наименьшее возможное значение для $a$ равно 2, то есть $a \ge 2$. При этом условии мы можем выразить $x$: $x = \frac{12}{a-1}$

Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом. Это означает, что результат деления 12 на $(a-1)$ должен быть целым и положительным числом.

Так как $a \ge 2$, то знаменатель $a-1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель $(a-1)$ всегда является положительным числом. Числитель 12 также положителен, поэтому частное $x$ всегда будет положительным.

Чтобы $x$ был не просто положительным, а именно натуральным (то есть целым) числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-1)$ был натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Приравняем выражение $(a-1)$ к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $a$:

• Если $a - 1 = 1$, то $a = 2$. При этом $x = \frac{12}{1} = 12$. Оба числа, $a=2$ и $x=12$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 2$, то $a = 3$. При этом $x = \frac{12}{2} = 6$. Оба числа, $a=3$ и $x=6$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 3$, то $a = 4$. При этом $x = \frac{12}{3} = 4$. Оба числа, $a=4$ и $x=4$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 4$, то $a = 5$. При этом $x = \frac{12}{4} = 3$. Оба числа, $a=5$ и $x=3$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 6$, то $a = 7$. При этом $x = \frac{12}{6} = 2$. Оба числа, $a=7$ и $x=2$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 12$, то $a = 13$. При этом $x = \frac{12}{12} = 1$. Оба числа, $a=13$ и $x=1$, являются натуральными.

Все найденные значения $a$ являются натуральными и обеспечивают натуральный корень $x$, следовательно, они удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 7, 13.

1185. Решите уравнение:

а) $|x - 3| = 7$;

б) $|x + 2| = 9$;

в) $|4 - x| = 1,5$;

г) $|6 - x| = 7,3$.

а) $|x - 3| = 7$
Уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений, так как выражение под модулем может быть равно как 7, так и -7.
Рассмотрим оба случая:
1) $x - 3 = 7$
$x = 7 + 3$
$x_1 = 10$

2) $x - 3 = -7$
$x = -7 + 3$
$x_2 = -4$

Ответ: -4; 10.

б) $|x + 2| = 9$
Аналогично предыдущему пункту, раскрываем модуль:
1) $x + 2 = 9$
$x = 9 - 2$
$x_1 = 7$

2) $x + 2 = -9$
$x = -9 - 2$
$x_2 = -11$

Ответ: -11; 7.

в) $|4 - x| = 1,5$
Это уравнение также имеет два решения.
1) $4 - x = 1,5$
$-x = 1,5 - 4$
$-x = -2,5$
$x_1 = 2,5$

2) $4 - x = -1,5$
$-x = -1,5 - 4$
$-x = -5,5$
$x_2 = 5,5$

Ответ: 2,5; 5,5.

г) $|6 - x| = 7,3$
Раскрываем модуль и решаем два полученных линейных уравнения:
1) $6 - x = 7,3$
$-x = 7,3 - 6$
$-x = 1,3$
$x_1 = -1,3$

2) $6 - x = -7,3$
$-x = -7,3 - 6$
$-x = -13,3$
$x_2 = 13,3$

Ответ: -1,3; 13,3.

1186. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Пусть наше шестизначное число имеет вид $\overline{abcdef}$. Согласно условию задачи, первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой, и третья — с шестой. Это означает, что $a = d$, $b = e$, и $c = f$.

Таким образом, число можно записать в виде $\overline{abcabc}$. Первая цифра $a$ не может быть нулем, так как число шестизначное ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$
$N = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$N = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c)$
$N = 100100a + 10010b + 1001c$

Вынесем общий множитель 1001 за скобки:
$N = 1001 \cdot (100a + 10b + c)$

Выражение в скобках $100a + 10b + c$ представляет собой трёхзначное число $\overline{abc}$, образованное первыми тремя цифрами исходного числа. Следовательно, наше шестизначное число можно записать как произведение:
$N = 1001 \cdot \overline{abc}$

Теперь, чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, достаточно показать, что множитель 1001 делится на 7, 11 и 13.
Разложим число 1001 на простые множители:
$1001 = 7 \cdot 143$
$143 = 11 \cdot 13$
Таким образом, $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Подставив это разложение в выражение для $N$, получим:
$N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot \overline{abc}$

Из полученного выражения видно, что число $N$ является произведением чисел 7, 11, 13 и трёхзначного числа $\overline{abc}$. Это означает, что $N$ делится нацело и на 7, и на 11, и на 13, что и требовалось доказать.

Ответ: Число вида $\overline{abcabc}$ можно представить как $1001 \cdot \overline{abc}$. Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, то число $\overline{abcabc}$ всегда кратно 7, 11 и 13.

1187. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, затем увеличилось на 10%, а во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Для решения задачи примем первоначальное количество воды в каждой бочке за $x$. Поскольку в бочках было воды поровну, это значение одинаково для обеих.

Расчет для первой бочки:

1. Количество воды сначала уменьшилось на 10%. Чтобы найти новое количество, нужно вычесть 10% от первоначального объема. Уменьшение на 10% соответствует умножению на коэффициент $1 - \frac{10}{100} = 0.9$.
Количество воды после уменьшения: $x_1 = x \cdot 0.9 = 0.9x$.

2. Затем количество воды увеличилось на 10%. Теперь 10% рассчитываются от нового объема ($0.9x$). Увеличение на 10% соответствует умножению на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.
Итоговое количество воды в первой бочке: $x_{итог1} = x_1 \cdot 1.1 = (0.9x) \cdot 1.1 = 0.99x$.

Расчет для второй бочки:

1. Количество воды сначала увеличилось на 10%. Это соответствует умножению на коэффициент $1.1$.
Количество воды после увеличения: $x_2 = x \cdot 1.1 = 1.1x$.

2. Затем количество воды уменьшилось на 10%. Теперь 10% рассчитываются от нового объема ($1.1x$). Это соответствует умножению на коэффициент $0.9$.
Итоговое количество воды во второй бочке: $x_{итог2} = x_2 \cdot 0.9 = (1.1x) \cdot 0.9 = 0.99x$.

Сравнение результатов:

В результате всех изменений в первой бочке стало $0.99x$ воды, а во второй бочке также стало $0.99x$ воды. Так как $0.99x = 0.99x$, количество воды в обеих бочках стало одинаковым. В обоих случаях итоговое количество воды составило 99% от первоначального.

Ответ: Количество воды в бочках стало равным.

1188. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы — 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Для решения этой задачи необходимо понять, что в процессе сушки грибов испаряется только вода, а масса сухого вещества остается неизменной.

1. Найдем массу сухого вещества в свежих грибах.

Свежие грибы содержат 90% воды. Следовательно, процентное содержание сухого вещества в них составляет:

$100\% - 90\% = 10\%$

Теперь вычислим массу сухого вещества в 11 кг свежих грибов. Для этого нужно найти 10% от 11 кг:

$11 \text{ кг} \times 0.10 = 1.1 \text{ кг}$

Таким образом, в 11 кг свежих грибов содержится 1.1 кг сухого вещества.

2. Найдем общую массу сухих грибов.

Масса сухого вещества (1.1 кг) остается постоянной и в сухих грибах. По условию, сухие грибы содержат 12% воды. Значит, доля сухого вещества в сухих грибах составляет:

$100\% - 12\% = 88\%$

Мы знаем, что 1.1 кг сухого вещества составляют 88% от общей массы сухих грибов. Пусть $x$ — это искомая масса сухих грибов. Тогда можно составить уравнение:

$0.88 \times x = 1.1$

Чтобы найти $x$, разделим массу сухого вещества на его долю в сухих грибах:

$x = \frac{1.1}{0.88}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 100:

$x = \frac{110}{88}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 110 и 88 — это 22:

$x = \frac{110 \div 22}{88 \div 22} = \frac{5}{4}$

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$x = 1.25 \text{ кг}$

Ответ: 1,25 кг.

1189. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество орехов в каждом ящике:

• $x_1$ — количество орехов в первом ящике,
• $x_2$ — количество орехов во втором ящике,
• $x_3$ — количество орехов в третьем ящике.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 110% от количества в первом:
$x_2 = x_1 + 0.1 \cdot x_1 = 1.1x_1$

2. Во втором ящике на 30% орехов больше, чем в третьем. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 130% от количества в третьем:
$x_2 = x_3 + 0.3 \cdot x_3 = 1.3x_3$

3. В первом ящике на 80 орехов больше, чем в третьем:
$x_1 = x_3 + 80$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
$\begin{cases} x_2 = 1.1x_1 \\ x_2 = 1.3x_3 \\ x_1 = x_3 + 80 \end{cases}$

Поскольку левые части первых двух уравнений равны ($x_2$), мы можем приравнять их правые части:
$1.1x_1 = 1.3x_3$

Теперь в полученное уравнение подставим выражение для $x_1$ из третьего уравнения системы ($x_1 = x_3 + 80$):
$1.1(x_3 + 80) = 1.3x_3$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_3$:
$1.1x_3 + 1.1 \cdot 80 = 1.3x_3$
$1.1x_3 + 88 = 1.3x_3$
$1.3x_3 - 1.1x_3 = 88$
$0.2x_3 = 88$
$x_3 = \frac{88}{0.2} = \frac{880}{2} = 440$
Таким образом, в третьем ящике 440 орехов.

Зная $x_3$, найдем количество орехов в первом ящике, используя третье уравнение:
$x_1 = x_3 + 80 = 440 + 80 = 520$
В первом ящике 520 орехов.

Наконец, найдем количество орехов во втором ящике, используя первое уравнение:
$x_2 = 1.1x_1 = 1.1 \cdot 520 = 572$
Во втором ящике 572 ореха.

Ответ: в первом ящике — 520 орехов, во втором — 572 ореха, в третьем — 440 орехов.