Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

а) $\begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15}, \\ 2x - 5y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m + 5n = 1, \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - 3y = 1, \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3q = 4p - 7, \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3}. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{x}{5} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15}$

$3x = 15 - y$

$3x + y = 15$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3x + y = 15 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}$

3. Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$2x = 5y$

$x = \frac{5y}{2}$

4. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$3 \cdot (\frac{5y}{2}) + y = 15$

$\frac{15y}{2} + y = 15$

$\frac{15y}{2} + \frac{2y}{2} = 15$

$\frac{17y}{2} = 15$

$y = 15 \cdot \frac{2}{17} = \frac{30}{17}$

5. Теперь найдем $x$:

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{30}{17} = \frac{5 \cdot 15}{17} = \frac{75}{17}$

Ответ: $(\frac{75}{17}; \frac{30}{17})$

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases}$

1. Упростим второе уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot \frac{m}{4} + 20 \cdot \frac{3n}{5} = 20 \cdot 1$

$5m + 4 \cdot 3n = 20$

$5m + 12n = 20$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ 5m + 12n = 20 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными:

$\begin{cases} 5(3m + 5n) = 5 \cdot 1 \\ -3(5m + 12n) = -3 \cdot 20 \end{cases}$

$\begin{cases} 15m + 25n = 5 \\ -15m - 36n = -60 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(15m - 15m) + (25n - 36n) = 5 - 60$

$-11n = -55$

$n = 5$

5. Подставим значение $n = 5$ в первое исходное уравнение:

$3m + 5(5) = 1$

$3m + 25 = 1$

$3m = 1 - 25$

$3m = -24$

$m = -8$

Ответ: $(-8; 5)$

в)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8} \end{cases}$

1. Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции (или умножив на НОК(6, 8) = 24):

$8(2x + 1) = 6(9 - 5y)$

$16x + 8 = 54 - 30y$

Перенесем переменные в левую часть, а числа в правую:

$16x + 30y = 54 - 8$

$16x + 30y = 46$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$8x + 15y = 23$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} -2(4x - 3y) = -2 \cdot 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

$\begin{cases} -8x + 6y = -2 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(-8x + 8x) + (6y + 15y) = -2 + 23$

$21y = 21$

$y = 1$

5. Подставим значение $y = 1$ в первое исходное уравнение:

$4x - 3(1) = 1$

$4x - 3 = 1$

$4x = 4$

$x = 1$

Ответ: $(1; 1)$

г)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3} \end{cases}$

1. Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ap + Bq = C$.

Первое уравнение:

$3q = 4p - 7 \implies 4p - 3q = 7$

Второе уравнение (используем свойство пропорции):

$3(1 - 3q) = 4(4 - 2p)$

$3 - 9q = 16 - 8p$

$8p - 9q = 16 - 3$

$8p - 9q = 13$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4p - 3q = 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3:

$\begin{cases} -3(4p - 3q) = -3 \cdot 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

$\begin{cases} -12p + 9q = -21 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(-12p + 8p) + (9q - 9q) = -21 + 13$

$-4p = -8$

$p = 2$

5. Подставим значение $p = 2$ в первое преобразованное уравнение $4p - 3q = 7$:

$4(2) - 3q = 7$

$8 - 3q = 7$

$-3q = 7 - 8$

$-3q = -1$

$q = \frac{1}{3}$

Ответ: $(2; \frac{1}{3})$

1172. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 8x + 5y = 20, \\ 1,6x + 2y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{7}x - \frac{1}{13}y = 1, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} -1,8x + 2,4y = 1, \\ 3x - 4y = 5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y = \frac{1}{2}, \\ -16x + 3y = 12. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 8x + 5y = 20, \\ 1,6x + 2y = 0; \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$1,6x + 2y = 0$
$2y = -1,6x$
$y = -0,8x$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$8x + 5(-0,8x) = 20$
$8x - 4x = 20$
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = -0,8x$:
$y = -0,8 \cdot 5$
$y = -4$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(5; -4)$.
Ответ: $(5; -4)$.

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{7}x - \frac{1}{13}y = 1, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases} $
Умножим обе части первого уравнения на $7 \cdot 13 = 91$, чтобы избавиться от дробей:
$91 \cdot (\frac{1}{7}x) - 91 \cdot (\frac{1}{13}y) = 91 \cdot 1$
$13x - 7y = 91$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 13x - 7y = 91, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases} $
Левые части уравнений идентичны, а правые части различны ($91 \neq 5$). Это означает, что система несовместна и не имеет решений, так как нет таких значений $x$ и $y$, при которых выражение $13x - 7y$ одновременно равнялось бы и 91, и 5.
Ответ: нет решений.

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} -1,8x + 2,4y = 1, \\ 3x - 4y = 5; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$-18x + 24y = 10$
Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$-9x + 12y = 5$
Теперь умножим второе уравнение системы на 3:
$3(3x - 4y) = 3 \cdot 5$
$9x - 12y = 15$
Система примет вид: $ \begin{cases} -9x + 12y = 5, \\ 9x - 12y = 15; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(-9x + 12y) + (9x - 12y) = 5 + 15$
$0 = 20$
Получилось неверное равенство, которое не зависит от переменных. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y = \frac{1}{2}, \\ -16x + 3y = 12; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей 3, 8 и 2, который равен 24:
$24 \cdot (\frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y) = 24 \cdot \frac{1}{2}$
$24 \cdot \frac{2}{3}x - 24 \cdot \frac{1}{8}y = 12$
$16x - 3y = 12$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 16x - 3y = 12, \\ -16x + 3y = 12; \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(16x - 3y) + (-16x + 3y) = 12 + 12$
$0 = 24$
Получилось неверное равенство. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.

1174. Проходят ли прямые $2x + 3y = 20$, $3x - 5y = 11$ и $x + y = 9$ через одну и ту же точку?

Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой.

Даны три уравнения прямых:

1. $2x + 3y = 20$
2. $3x - 5y = 11$
3. $x + y = 9$

Решение:

1. Найдем точку пересечения двух прямых. Для удобства выберем первую и третью прямые, так как их система решается проще всего.

$ \begin{cases} 2x + 3y = 20 \\ x + y = 9 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную y:

$y = 9 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x + 3(9 - x) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$2x + 27 - 3x = 20$

$-x = 20 - 27$

$-x = -7$

$x = 7$

Теперь, зная x, найдем y:

$y = 9 - 7 = 2$

Таким образом, точка пересечения первой и третьей прямых имеет координаты $(7, 2)$.

2. Проверим, принадлежит ли найденная точка $(7, 2)$ второй прямой, уравнение которой $3x - 5y = 11$. Для этого подставим значения $x=7$ и $y=2$ в это уравнение:

$3(7) - 5(2) = 11$

$21 - 10 = 11$

$11 = 11$

Равенство является верным. Это означает, что точка $(7, 2)$ также лежит на второй прямой.

Так как все три прямые проходят через одну и ту же точку $(7, 2)$, ответ на вопрос задачи утвердительный.

Ответ: Да, данные прямые проходят через одну и ту же точку.

1176. (Для работы в парах.) Напишите уравнение вида $y = kx + b$, график которого проходит через точки:

а) $M(-1; 1)$ и $P(4; 4)$;

б) $A(-3; 3)$ и $B(3; -3)$.

1) Обсудите друг с другом ход решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены уравнения, построив соответствующие графики.

а)

Чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через точки M(-1; 1) и P(4; 4), нужно составить и решить систему уравнений. Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.

Для точки M(-1; 1) получаем уравнение: $1 = k \cdot (-1) + b$

Для точки P(4; 4) получаем уравнение: $4 = k \cdot 4 + b$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$$ \begin{cases} -k + b = 1 \\ 4k + b = 4 \end{cases} $$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $b$ и найти значение коэффициента $k$:

$(4k + b) - (-k + b) = 4 - 1$

$4k + k = 3$

$5k = 3$

$k = \frac{3}{5}$

Теперь, зная значение $k$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $b$. Возьмем первое уравнение $-k + b = 1$:

$-\frac{3}{5} + b = 1$

$b = 1 + \frac{3}{5}$

$b = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

Теперь у нас есть значения для $k$ и $b$. Подставим их в исходное уравнение прямой $y = kx + b$:

$y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$

Ответ: $y = \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$

б)

Аналогично, чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через точки A(-3; 3) и B(3; -3), подставим их координаты в уравнение прямой.

Для точки A(-3; 3) получаем уравнение: $3 = k \cdot (-3) + b$

Для точки B(3; -3) получаем уравнение: $-3 = k \cdot 3 + b$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} -3k + b = 3 \\ 3k + b = -3 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения. Это позволит исключить переменную $k$ и найти значение $b$:

$(-3k + b) + (3k + b) = 3 + (-3)$

$2b = 0$

$b = 0$

Теперь подставим найденное значение $b=0$ во второе уравнение системы $3k + b = -3$, чтобы найти $k$:

$3k + 0 = -3$

$3k = -3$

$k = -1$

Подставим найденные значения $k=-1$ и $b=0$ в уравнение прямой $y = kx + b$:

$y = -1 \cdot x + 0$

$y = -x$

Ответ: $y = -x$

1171. Найдите решение системы:

a) $$\begin{cases} (x-1)^2 - (x+2)^2 = 9y, \\ (y-3)^2 - (y+2)^2 = 5x; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} (7+u)^2 - (5+u)^2 = 6v, \\ (2-v)^2 - (6-v)^2 = 4u. \end{cases}$$

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 9y, \\ (y - 3)^2 - (y + 2)^2 = 5x; \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$a = x - 1$, $b = x + 2$
$a - b = (x - 1) - (x + 2) = x - 1 - x - 2 = -3$
$a + b = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$
$(x - 1)^2 - (x + 2)^2 = (-3)(2x + 1) = -6x - 3$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$-6x - 3 = 9y$

Разделим обе части на 3:

$-2x - 1 = 3y$

Для второго уравнения:

$a = y - 3$, $b = y + 2$
$a - b = (y - 3) - (y + 2) = y - 3 - y - 2 = -5$
$a + b = (y - 3) + (y + 2) = 2y - 1$
$(y - 3)^2 - (y + 2)^2 = (-5)(2y - 1) = -10y + 5$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$-10y + 5 = 5x$

Разделим обе части на 5:

$-2y + 1 = x$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} -2x - 1 = 3y, \\ x = 1 - 2y; \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$-2(1 - 2y) - 1 = 3y$
$-2 + 4y - 1 = 3y$
$4y - 3 = 3y$
$4y - 3y = 3$
$y = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5$

Решение системы: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-5; 3)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 6v, \\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u. \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$a = 7 + u$, $b = 5 + u$
$a - b = (7 + u) - (5 + u) = 7 + u - 5 - u = 2$
$a + b = (7 + u) + (5 + u) = 12 + 2u$
$(7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 2(12 + 2u) = 24 + 4u$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$24 + 4u = 6v$

Разделим обе части на 2:

$12 + 2u = 3v$

Для второго уравнения:

$a = 2 - v$, $b = 6 - v$
$a - b = (2 - v) - (6 - v) = 2 - v - 6 + v = -4$
$a + b = (2 - v) + (6 - v) = 8 - 2v$
$(2 - v)^2 - (6 - v)^2 = (-4)(8 - 2v) = -32 + 8v$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$-32 + 8v = 4u$

Разделим обе части на 4:

$-8 + 2v = u$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 12 + 2u = 3v, \\ u = 2v - 8; \end{cases} $$

Подставим выражение для $u$ из второго уравнения в первое:

$12 + 2(2v - 8) = 3v$
$12 + 4v - 16 = 3v$
$4v - 4 = 3v$
$4v - 3v = 4$
$v = 4$

Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ во второе уравнение:

$u = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$

Решение системы: $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.

1173. Имеет ли решения система уравнений:

a) $\begin{cases} 5x - 4y = 1, \\ 3x + 1 = 13, \\ 7x - 5y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 11x + 3y = 1, \\ 2x + y = 3, \\ 5x + 2y = 4? \end{cases}$

а)

Чтобы определить, имеет ли система решения, необходимо найти пару чисел $(x, y)$, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям одновременно. Данная система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 1 \\ 3x + 1 = 13 \\ 7x - 5y = 1 \end{cases}$

Начнем со второго уравнения, так как оно содержит только одну переменную $x$. $3x + 1 = 13$ $3x = 13 - 1$ $3x = 12$ $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$: $5x - 4y = 1$ $5(4) - 4y = 1$ $20 - 4y = 1$ $-4y = 1 - 20$ $-4y = -19$ $y = \frac{-19}{-4}$ $y = \frac{19}{4}$

Мы нашли пару чисел $(x, y) = (4, \frac{19}{4})$, которая является решением первых двух уравнений. Чтобы вся система имела решение, эта пара должна также удовлетворять и третьему уравнению. Проверим это: $7x - 5y = 1$ $7(4) - 5(\frac{19}{4}) = 1$ $28 - \frac{95}{4} = 1$ Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{28 \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 1$ $\frac{112}{4} - \frac{95}{4} = 1$ $\frac{112 - 95}{4} = 1$ $\frac{17}{4} = 1$ $4.25 = 1$

Полученное равенство является ложным. Следовательно, пара чисел, являющаяся решением первых двух уравнений, не является решением третьего. Это означает, что не существует решения, удовлетворяющего всем трем уравнениям системы.

Ответ: система уравнений не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему из трех уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 11x + 3y = 1 \\ 2x + y = 3 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases}$

Для проверки наличия решений решим систему, состоящую из любых двух уравнений, и затем подставим найденные значения в третье уравнение. Возьмем второе и третье уравнения. Из второго уравнения удобно выразить $y$: $2x + y = 3$ $y = 3 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в третье уравнение: $5x + 2y = 4$ $5x + 2(3 - 2x) = 4$ $5x + 6 - 4x = 4$ $x + 6 = 4$ $x = 4 - 6$ $x = -2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в выражение для $y$: $y = 3 - 2x$ $y = 3 - 2(-2)$ $y = 3 + 4$ $y = 7$

Таким образом, решением системы из второго и третьего уравнений является пара чисел $(x, y) = (-2, 7)$. Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы: $11x + 3y = 1$ $11(-2) + 3(7) = 1$ $-22 + 21 = 1$ $-1 = 1$

Полученное равенство является ложным. Следовательно, решение, которое удовлетворяет второму и третьему уравнениям, не удовлетворяет первому. Это означает, что система несовместна.

Ответ: система уравнений не имеет решений.

1175. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:

а) $A(1; 2)$ и $B(-2; 3)$;

б) $M(-5; 0)$ и $K(2; -1)$.

Для того чтобы задать формулой линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки, мы будем использовать общий вид уравнения линейной функции $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (наклон), а $b$ – это свободный член (точка пересечения с осью OY).

Поскольку график функции проходит через указанные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению. Подставляя координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $k$ и $b$. Решив эту систему, мы найдем искомые коэффициенты.

а) A(1; 2) и B(-2; 3)

Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:

Для точки A(1; 2): $2 = k \cdot 1 + b \implies k + b = 2$

Для точки B(-2; 3): $3 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 3$

Получаем следующую систему уравнений:

$ \begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases} $

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого:

$(k + b) - (-2k + b) = 2 - 3$

$k + b + 2k - b = -1$

$3k = -1$

$k = -\frac{1}{3}$

Теперь, зная значение $k$, подставим его в первое уравнение системы ($k + b = 2$) для нахождения $b$:

$-\frac{1}{3} + b = 2$

$b = 2 + \frac{1}{3}$

$b = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Итак, мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{7}{3}$. Подставим их в общее уравнение линейной функции.

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$

б) M(-5; 0) и K(2; -1)

Подставим координаты точек M и K в уравнение $y = kx + b$:

Для точки M(-5; 0): $0 = k \cdot (-5) + b \implies -5k + b = 0$

Для точки K(2; -1): $-1 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения легко выразить $b$ через $k$:

$b = 5k$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$2k + (5k) = -1$

$7k = -1$

$k = -\frac{1}{7}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение $b = 5k$:

$b = 5 \cdot (-\frac{1}{7}) = -\frac{5}{7}$

Мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{7}$ и $b = -\frac{5}{7}$. Подставим их в общее уравнение линейной функции.

Ответ: $y = -\frac{1}{7}x - \frac{5}{7}$

1177. Автомобиль проделал путь за 8 ч. Сначала он шёл со скоростью 40 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Весь этот путь он мог бы пройти за то же время, если бы шёл со скоростью 45 км/ч. Сколько часов шёл автомобиль со скоростью 40 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $t_1$ — время в часах, в течение которого автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч.

Пусть $t_2$ — время в часах, в течение которого автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч.

Общее время пути составляет 8 часов, поэтому мы можем записать первое уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

Теперь найдем общее расстояние, которое проехал автомобиль. В условии сказано, что весь путь можно было бы проехать за те же 8 часов со скоростью 45 км/ч. Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости на время:

$S = 45 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Это же расстояние автомобиль проехал, двигаясь с разными скоростями. Расстояние, пройденное на первом участке, равно $40 \times t_1$. Расстояние, пройденное на втором участке, равно $60 \times t_2$. Сумма этих расстояний равна общему пути. Это дает нам второе уравнение:

$40t_1 + 60t_2 = 360$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 40t_1 + 60t_2 = 360 \end{cases} $

Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив все его члены на 20:

$2t_1 + 3t_2 = 18$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 2t_1 + 3t_2 = 18 \end{cases} $

Выразим $t_1$ из первого уравнения:

$t_1 = 8 - t_2$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $t_2$:

$2(8 - t_2) + 3t_2 = 18$

$16 - 2t_2 + 3t_2 = 18$

$16 + t_2 = 18$

$t_2 = 18 - 16$

$t_2 = 2$

Таким образом, автомобиль ехал 2 часа со скоростью 60 км/ч.

Теперь найдем $t_1$, подставив значение $t_2$ в выражение $t_1 = 8 - t_2$:

$t_1 = 8 - 2 = 6$

Следовательно, автомобиль ехал 6 часов со скоростью 40 км/ч.

Проверка:

Общее время: $6 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$.

Общее расстояние: $(6 \text{ ч} \times 40 \text{ км/ч}) + (2 \text{ ч} \times 60 \text{ км/ч}) = 240 \text{ км} + 120 \text{ км} = 360 \text{ км}$.

Результаты сходятся с условиями задачи.

Ответ: автомобиль шёл 6 часов со скоростью 40 км/ч и 2 часа со скоростью 60 км/ч.