Номер 1172, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1172, страница 230.

Условие.

1172. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 8x + 5y = 20, \\ 1,6x + 2y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{7}x - \frac{1}{13}y = 1, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} -1,8x + 2,4y = 1, \\ 3x - 4y = 5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y = \frac{1}{2}, \\ -16x + 3y = 12. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 8x + 5y = 20, \\ 1,6x + 2y = 0; \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$1,6x + 2y = 0$
$2y = -1,6x$
$y = -0,8x$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$8x + 5(-0,8x) = 20$
$8x - 4x = 20$
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = -0,8x$:
$y = -0,8 \cdot 5$
$y = -4$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(5; -4)$.
Ответ: $(5; -4)$.

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{7}x - \frac{1}{13}y = 1, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases} $
Умножим обе части первого уравнения на $7 \cdot 13 = 91$, чтобы избавиться от дробей:
$91 \cdot (\frac{1}{7}x) - 91 \cdot (\frac{1}{13}y) = 91 \cdot 1$
$13x - 7y = 91$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 13x - 7y = 91, \\ 13x - 7y = 5; \end{cases} $
Левые части уравнений идентичны, а правые части различны ($91 \neq 5$). Это означает, что система несовместна и не имеет решений, так как нет таких значений $x$ и $y$, при которых выражение $13x - 7y$ одновременно равнялось бы и 91, и 5.
Ответ: нет решений.

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} -1,8x + 2,4y = 1, \\ 3x - 4y = 5; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$-18x + 24y = 10$
Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$-9x + 12y = 5$
Теперь умножим второе уравнение системы на 3:
$3(3x - 4y) = 3 \cdot 5$
$9x - 12y = 15$
Система примет вид: $ \begin{cases} -9x + 12y = 5, \\ 9x - 12y = 15; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(-9x + 12y) + (9x - 12y) = 5 + 15$
$0 = 20$
Получилось неверное равенство, которое не зависит от переменных. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y = \frac{1}{2}, \\ -16x + 3y = 12; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей 3, 8 и 2, который равен 24:
$24 \cdot (\frac{2}{3}x - \frac{1}{8}y) = 24 \cdot \frac{1}{2}$
$24 \cdot \frac{2}{3}x - 24 \cdot \frac{1}{8}y = 12$
$16x - 3y = 12$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 16x - 3y = 12, \\ -16x + 3y = 12; \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(16x - 3y) + (-16x + 3y) = 12 + 12$
$0 = 24$
Получилось неверное равенство. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.