Номер 1174, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1174, страница 230.

Условие.

1174. Проходят ли прямые $2x + 3y = 20$, $3x - 5y = 11$ и $x + y = 9$ через одну и ту же точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, проходят ли три прямые через одну и ту же точку, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой.

Даны три уравнения прямых:

1. $2x + 3y = 20$
2. $3x - 5y = 11$
3. $x + y = 9$

Решение:

1. Найдем точку пересечения двух прямых. Для удобства выберем первую и третью прямые, так как их система решается проще всего.

$ \begin{cases} 2x + 3y = 20 \\ x + y = 9 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную y:

$y = 9 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x + 3(9 - x) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:

$2x + 27 - 3x = 20$

$-x = 20 - 27$

$-x = -7$

$x = 7$

Теперь, зная x, найдем y:

$y = 9 - 7 = 2$

Таким образом, точка пересечения первой и третьей прямых имеет координаты $(7, 2)$.

2. Проверим, принадлежит ли найденная точка $(7, 2)$ второй прямой, уравнение которой $3x - 5y = 11$. Для этого подставим значения $x=7$ и $y=2$ в это уравнение:

$3(7) - 5(2) = 11$

$21 - 10 = 11$

$11 = 11$

Равенство является верным. Это означает, что точка $(7, 2)$ также лежит на второй прямой.

Так как все три прямые проходят через одну и ту же точку $(7, 2)$, ответ на вопрос задачи утвердительный.

Ответ: Да, данные прямые проходят через одну и ту же точку.