Номер 1181, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1181, страница 231.

Условие.

1181. Написали два числа. Если первое число увеличить на $30\%$, а второе уменьшить на $10\%$, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на $10\%$, а второе — на $20\%$, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. Тогда их первоначальная сумма равна $x+y$.

Из первого условия задачи следует, что если первое число увеличить на 30%, оно станет равным $x + 0.3x = 1.3x$, а если второе число уменьшить на 10%, оно станет равным $y - 0.1y = 0.9y$. Их новая сумма $1.3x+0.9y$ будет на 6 больше первоначальной. Это можно записать в виде уравнения: $1.3x + 0.9y = (x+y) + 6$. Упростив его, получаем первое уравнение системы: $0.3x - 0.1y = 6$.

Из второго условия, если первое число уменьшить на 10%, оно станет равным $x - 0.1x = 0.9x$, а если второе число уменьшить на 20%, оно станет равным $y - 0.2y = 0.8y$. Их новая сумма $0.9x + 0.8y$ будет на 16 меньше первоначальной. Уравнение будет таким: $0.9x + 0.8y = (x+y) - 16$. Упростив, получаем второе уравнение системы: $-0.1x - 0.2y = -16$.

Таким образом, мы имеем систему двух линейных уравнений:
1) $0.3x - 0.1y = 6$
2) $-0.1x - 0.2y = -16$

Умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
1) $3x - y = 60$
2) $-x - 2y = -160$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3x - 60$. Подставим это выражение во второе уравнение: $-x - 2(3x - 60) = -160$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$-x - 6x + 120 = -160$
$-7x = -160 - 120$
$-7x = -280$
$x = \frac{-280}{-7}$
$x = 40$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 40$ в выражение $y = 3x - 60$:
$y = 3 \cdot 40 - 60 = 120 - 60 = 60$.

Следовательно, искомые числа — это 40 и 60.

Проведем проверку. Исходная сумма: $40+60=100$.
1. Увеличение первого числа на 30% и уменьшение второго на 10% дает новую сумму: $40 \cdot 1.3 + 60 \cdot 0.9 = 52 + 54 = 106$. Сумма увеличилась на $106-100=6$. Условие выполняется.
2. Уменьшение первого числа на 10% и второго на 20% дает новую сумму: $40 \cdot 0.9 + 60 \cdot 0.8 = 36 + 48 = 84$. Сумма уменьшилась на $100-84=16$. Условие выполняется.

Ответ: 40 и 60.