Номер 1183, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1183, страница 231.

Условие.

1183. За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго — на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальная производительность первого станка (количество деталей в день), а $y$ — первоначальная производительность второго станка (количество деталей в день).

Исходя из условия, что за 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей, мы можем составить первое уравнение:
$8x + 5y = 235$

Далее, производительность первого станка возросла на 15%. Новая производительность первого станка составляет $x + 0.15x = 1.15x$ деталей в день. Производительность второго станка возросла на 20%, его новая производительность составляет $y + 0.20y = 1.2y$ деталей в день.

По новым условиям, за 2 дня работы на усовершенствованном первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Составим второе уравнение:
$2 \cdot (1.15x) + 3 \cdot (1.2y) = 100$
$2.3x + 3.6y = 100$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 2.3x + 3.6y = 100 \end{cases}$

Для удобства решения умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$10 \cdot (2.3x + 3.6y) = 10 \cdot 100$
$23x + 36y = 1000$

Теперь решаем систему:
$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 23x + 36y = 1000 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:
$5y = 235 - 8x$
$y = \frac{235 - 8x}{5}$
$y = 47 - 1.6x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение ($23x + 36y = 1000$):
$23x + 36(47 - 1.6x) = 1000$
$23x + 1692 - 57.6x = 1000$
$1692 - 1000 = 57.6x - 23x$
$692 = 34.6x$
$x = \frac{692}{34.6}$
$x = \frac{6920}{346}$
$x = 20$

Итак, первоначальная производительность первого станка составляла 20 деталей в день.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=20$ в выражение для $y$:
$y = 47 - 1.6 \cdot 20 = 47 - 32 = 15$

Таким образом, первоначальная производительность второго станка составляла 15 деталей в день.

Проведем проверку найденных значений.
Первое условие: $8 \cdot 20 + 5 \cdot 15 = 160 + 75 = 235$. Верно.
Второе условие: $2 \cdot (1.15 \cdot 20) + 3 \cdot (1.2 \cdot 15) = 2 \cdot 23 + 3 \cdot 18 = 46 + 54 = 100$. Верно.

Ответ: Раньше первый станок изготовлял 20 деталей в день, а второй — 15 деталей в день.