Номер 1184, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1184, страница 232.

Условие.

1184. Найдите все натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $(a - 1)x = 12$ является натуральным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Дано уравнение $(a-1)x = 12$. По условию задачи, и параметр $a$, и корень уравнения $x$ должны быть натуральными числами.

Натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$ и $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на множитель $(a-1)$. Данная операция возможна только в том случае, если $(a-1) \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда $a-1=0$, то есть $a=1$. Поскольку $1$ является натуральным числом, это значение параметра $a$ необходимо проверить. Подставим $a=1$ в исходное уравнение: $(1-1)x = 12$ $0 \cdot x = 12$ Данное равенство не может быть выполнено ни при каком значении $x$, так как любое число при умножении на ноль дает ноль, а не 12. Следовательно, у уравнения нет корней при $a=1$, и это значение нам не подходит.

Поскольку $a$ — натуральное число и $a \ne 1$, то наименьшее возможное значение для $a$ равно 2, то есть $a \ge 2$. При этом условии мы можем выразить $x$: $x = \frac{12}{a-1}$

Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом. Это означает, что результат деления 12 на $(a-1)$ должен быть целым и положительным числом.

Так как $a \ge 2$, то знаменатель $a-1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель $(a-1)$ всегда является положительным числом. Числитель 12 также положителен, поэтому частное $x$ всегда будет положительным.

Чтобы $x$ был не просто положительным, а именно натуральным (то есть целым) числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-1)$ был натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Приравняем выражение $(a-1)$ к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $a$:

• Если $a - 1 = 1$, то $a = 2$. При этом $x = \frac{12}{1} = 12$. Оба числа, $a=2$ и $x=12$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 2$, то $a = 3$. При этом $x = \frac{12}{2} = 6$. Оба числа, $a=3$ и $x=6$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 3$, то $a = 4$. При этом $x = \frac{12}{3} = 4$. Оба числа, $a=4$ и $x=4$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 4$, то $a = 5$. При этом $x = \frac{12}{4} = 3$. Оба числа, $a=5$ и $x=3$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 6$, то $a = 7$. При этом $x = \frac{12}{6} = 2$. Оба числа, $a=7$ и $x=2$, являются натуральными.
• Если $a - 1 = 12$, то $a = 13$. При этом $x = \frac{12}{12} = 1$. Оба числа, $a=13$ и $x=1$, являются натуральными.

Все найденные значения $a$ являются натуральными и обеспечивают натуральный корень $x$, следовательно, они удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 7, 13.