Номер 1171, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1171, страница 230.

Условие.

1171. Найдите решение системы:

a) $$\begin{cases} (x-1)^2 - (x+2)^2 = 9y, \\ (y-3)^2 - (y+2)^2 = 5x; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} (7+u)^2 - (5+u)^2 = 6v, \\ (2-v)^2 - (6-v)^2 = 4u. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 9y, \\ (y - 3)^2 - (y + 2)^2 = 5x; \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$a = x - 1$, $b = x + 2$
$a - b = (x - 1) - (x + 2) = x - 1 - x - 2 = -3$
$a + b = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$
$(x - 1)^2 - (x + 2)^2 = (-3)(2x + 1) = -6x - 3$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$-6x - 3 = 9y$

Разделим обе части на 3:

$-2x - 1 = 3y$

Для второго уравнения:

$a = y - 3$, $b = y + 2$
$a - b = (y - 3) - (y + 2) = y - 3 - y - 2 = -5$
$a + b = (y - 3) + (y + 2) = 2y - 1$
$(y - 3)^2 - (y + 2)^2 = (-5)(2y - 1) = -10y + 5$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$-10y + 5 = 5x$

Разделим обе части на 5:

$-2y + 1 = x$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} -2x - 1 = 3y, \\ x = 1 - 2y; \end{cases} $$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$-2(1 - 2y) - 1 = 3y$
$-2 + 4y - 1 = 3y$
$4y - 3 = 3y$
$4y - 3y = 3$
$y = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5$

Решение системы: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-5; 3)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 6v, \\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u. \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Для первого уравнения:

$a = 7 + u$, $b = 5 + u$
$a - b = (7 + u) - (5 + u) = 7 + u - 5 - u = 2$
$a + b = (7 + u) + (5 + u) = 12 + 2u$
$(7 + u)^2 - (5 + u)^2 = 2(12 + 2u) = 24 + 4u$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$24 + 4u = 6v$

Разделим обе части на 2:

$12 + 2u = 3v$

Для второго уравнения:

$a = 2 - v$, $b = 6 - v$
$a - b = (2 - v) - (6 - v) = 2 - v - 6 + v = -4$
$a + b = (2 - v) + (6 - v) = 8 - 2v$
$(2 - v)^2 - (6 - v)^2 = (-4)(8 - 2v) = -32 + 8v$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$-32 + 8v = 4u$

Разделим обе части на 4:

$-8 + 2v = u$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 12 + 2u = 3v, \\ u = 2v - 8; \end{cases} $$

Подставим выражение для $u$ из второго уравнения в первое:

$12 + 2(2v - 8) = 3v$
$12 + 4v - 16 = 3v$
$4v - 4 = 3v$
$4v - 3v = 4$
$v = 4$

Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ во второе уравнение:

$u = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$

Решение системы: $(0; 4)$.

Ответ: $(0; 4)$.